Zadanie z funkcją charakterystyczną zmiennej losowej

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
szefsa1
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 13 maja 2024, 21:11
Płeć:

Zadanie z funkcją charakterystyczną zmiennej losowej

Post autor: szefsa1 »

Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X o gęstości

\(f(x) = \begin{cases} ae^{ax}, \ \ x<0 \\ x \geq 0 \end{cases}\)

dla \(a>0\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1679
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 437 razy

Re: Zadanie z funkcją charakterystyczną zmiennej losowej

Post autor: janusz55 »

Proszę znaleźć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \( X \) o gęstości prawdopodobienstwa:

\( f(x) = \begin{cases} ae^{ax}, \ \ \text{gdy} \ \ x<0 \\ 0, \ \ \text{gdy} \ \ x \geq 0 \\ a>0.\end{cases} \)

Rozwiązanie

\( \phi(t) = E(e^{itx} = \int_{-\infty}^{0} e^{itx}\cdot ae^{ax}dx = a \int_{-\infty}^{0} e^{itx + ax}dx = \ \ ... \)

Wskazówka

\( e^{itx} = \cos(tx) + i\sin(tx).\)