Forum serwisu

zadanie 4 prosta zawierająca AB: (y+1)(4-1)=(x-1)(-2+1)\\ 3(y+1)=-(x-1)\\ y+1=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} równanie prostej DC: y=-\frac{1}{3}(x-6)+0\\ y=-\frac{1}{3}x+2 równanie prostej BD: (y+2)(6-4)=(x-4)\cdot 2\\ y+2=x-4\\ y=x-6 równanie prostej AD: y=x-1-1\\ y=x-2 wie...

2.
\(y'+2xy=0\\
\frac{\mbox{d}y}{y}=-2x\mbox{d}x\\
\ln |y|=-x^2+c\\
y=e^{-x^2}c_1\)
uzmienniamy stałą
\(y'=e^{-x^2}(-2x)c_1+e^{-x^2}c_1'\\
e^{-x^2}(-2x)c_1+e^{-x^2}c_1'+2xe^{-x^2}c_1=2x^2e^{-x^2}\\
c_1'=2x^2\\
c_1=\int 2x^2\mbox{d}x=\frac{2}{3}x^3\\
y=e^{-x^2}c_1+e^{-x^2}\cdot\frac{2}{3}x^3\)

3. xy'=xy\\ x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=xy\backslash \div x\;\;x\neq 0\\ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=y\\ \frac{\mbox{d}y}{y}=\mbox{d}x\\ \ln |y|=x+c\\ y=e^xc_1\\ uzmienniamy stałą: y'=e^xc_1+e^xc_1'\\ xe^xc_1+e^x-x(e^xc_1+e^xc_1')=0\\ e^x-xe^xc_1'=0\\ xc_1'=1\\ c_1'=\frac{1}{x}\\ c_1=\int\frac{\mbo...

H - wysokość graniastosłupa
D - długość przekątnej graniastosłupa
d - długość przekątnej podstawy
a - długość krawędzi podstawy
\(H^2+d^2=D^2\\
15^2+d^2=25^2\\
d^2=400\\
d=20\\
a\sqrt{2}=20\\
a=\frac{20}{\sqrt{2}}\\
V=a^2H\\
V=\frac{400}{2}\cdot 15\\
V=3000\)

\int\frac{t^2\mbox{d}t}{\sqrt{1-t^2}}=\int t\cdot\frac{t\mbox{d}t}{\sqrt{1-t^2}}= \begin{bmatrix}f(t)=t&f'(t)=1\\g'(t)=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}&g(t)=-\sqrt{1-t^2} \end{bmatrix} =-t\sqrt{1-t^2}+\int\sqrt{1-t^2}\mbox{d}t=\\=-t\sqrt{1-t^2}+\frac{t}{2}\sqrt{1-t^2}+\frac{1}{2}\arcsin t=\frac{1}{2}...

bo n jest naturalne, więc jest większe lub równe 1

\(\frac{n}{\ln (n+1)}\geq\frac{1}{n+1}\)
szereg \(\sum\frac{1}{n+1}\) jest rozbieżny, więc nasz szereg na mocy kryterium porównawczego również jest rozbieżny

\(a_n=\frac{2}{4n+3}\\
\lim_{n\to\infty}a_n=0\\
\{a_n\}\mbox{ jest malejacy}\)
na mocy kryterium Leibniza szereg \(\sum (-1)^na_n\) jest zbieżny

to może tak: \int x^3(x^2-1)^7\mbox{d}x= \int x^2(x^2-1)x\mbox{d}x=\left[x^2-1=t\Rightarrow x\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{2} \right] =\frac{1}{2}\int (t+1)\cdot t^7\mbox{d}t=\frac{1}{2}\int \left( t^8+t^7\right) \mbox{d}t=\\=\frac{1}{2} \left(\frac{t^9}{9}+\frac{t^8}{8} \right) =\left[x^2-1=t \right] ...

\overline{\overline{\Omega}}=7\cdot 7=49\\ A=\{(-3,-3), (-2,-2), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2), (3,3)\} \overline{\overline{A}}=7\cdot 1=7\\ P(A)=\frac{7}{49}\\ B=\{(-2,0),(-1, -1), (-1,0), (-1,1), (0,-2),(0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-1), (1, 0), (1,1), (2,0)\}\\ \overline{\overline{B}}=13\\ P(B)...