Forum serwisu

3) Wyznaczamy równanie prostej AB: A=(1,1), B=(9,5) y=ax+b \begin{cases} \ 1=a+b\\ 5=9a+b\end{cases} pr AB: y= \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2} Prosta DC jest do niej równoległa, więc: pr DC: y= \frac{1}{2}x+b' i C \in pr DC stąd 8= \frac{5}{2}+b' , b'= \frac{11}{2} pr DC: y= \frac{1}{2}x+ \frac{11}{2} Zat...

4 cd) l_2: -2x+y+C_2=0 prosta zawierająca podstawę AB. A \in l_2 zatem: -2 \cdot 1+(-2)+C_2=0 stąd C_2=4 l_2: -2x+y+4=0 B=(x, 2x-4) i d(A,k)=d(B,k) d(A,k)= \frac{|1 \cdot 1+2 \cdot (-2)-7|}{ \sqrt{5} }=2 \sqrt{5} d(B,k)= \frac{|1 \cdot x+2 \cdot (2x-4)-7|}{ \sqrt{5} } =2 \sqrt{5} 5 \cdot |x-3|=10 |x...

4) Niech k: x+2y-7=0 oś symetrii trapezu (przechodzi zatem przez środki podstaw) Podstawy są do niej prostopadłe! Niech l_1: -2x+y+C_1=0 prosta \perp k i niech D \in l_1 stąd -2 \cdot (-2)+2+C_1=0 C_1=-6 czyli l_1: -2x+y-6=0 jest to prosta zawierająca podstawę DC trapezu. d(D, k)= \frac{|1 \cdot (-2...

Rozwiązując układ równań \begin{cases} \ y=7x-18 \\ x+7y-24=0\end{cases} Dostaniemy punkt przecięcia przekątnych S=(3,3) . Znajdziemy teraz równanie prostej AB: Podstawiając współrzędne punktów A i B do wzoru y=ax+b: \begin{cases}\ 2=10a+b\\ -11=a+b \end{cases} stąd a= \frac{13}{9} , b=- \frac{112}{...

3) \vec{AB}=[10-1,2-(-11)]=[9,13] | \vec{AB}|= \sqrt{9^2+13^2} = \sqrt{250} =5 \sqrt{10} dł. boku rombu. Aby sprawdzić, którą z przekątnych (BD czy AC) zawiera prosta k:x+7y-24=0 , wystarczy sprawdzić, który z punktów A czy B leży na tej prostej podstawiając za x i y ich współrzędne: 1-7 \cdot (-11)...

2)Równanie okręgu x^2+y^2-2y-4=0 możemy zapisać w postaci: x^2+(y-1)^2=5 Stąd mamy środek okręgu S=(0,1) i promień r= \sqrt{5} Dana prosta zawierająca bok kwadratu jest styczną do danego okręgu w punkcie O=(2,2) ( punkt styczności otrzymasz podstawiając y=-2x+6 do równania okręgu). Wektor \vec{v}=[-...

1) Niech k: 2x+y-3=0 dana prosta S=(3,12) środek symetrii tego kwadratu d(S,k)= \frac{|2 \cdot 3+12-3|}{ \sqrt{2^2+1^2} } =3 \sqrt{5} odległość punktu S od prostej k a) promień koła wpisanego w ten kwadrat jest równy odległości S od prostej k : r=3 \sqrt{5} , stąd pole wynosi 45 \pi b)bok kwadratu j...

Prosta x+2y-1-0 jest zatem jedną z przekątnych rombu. Punkt A nie leży na tej prostej. Druga przekatna leży na prostej do niej prostopadłej i przechodzącej przez punkt A. Ma ona równanie y=2x-2 . Środek okręgu wpisanego w ten romb leży w punkcie przecięcia przekątnych, czyli tych dwóch prostych. S=(...

\(lim_{x\to%20\infty%20%20}%20%20\frac{(x+1)e%20\frac{2}{x}%20}{x}=lim_{x\to%20\infty%20%20}%20%20\frac{(1+ \frac{1}{x} )e%20\frac{2}{x}%20}{1}=1\) bo:

\(\frac{1}{x} \to 0\) przy \(x \to \infty\).

\(\frac{2}{x}\to 0\) ,przy \(x \to \infty\) ,stąd \(e^ {\frac{2}{x}} \to 1\)

2) A \cdot X=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&2&3\\ 1&3&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&-3&2\\ -1&2&-1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\ c_{31}&c_{32}...

2A-3B=2 \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\-1&0&3\\ 4&2&1\end{array}\right]- 3 \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&0&1\\ -1&2&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2&2&4\\-2&0&6\\ 8&4&2\end{array}\right]-\left[\begin...

niech \(u=lnx \ \ u'= \frac{1}{x}\)

\(v'=x^n \ \ v= \frac{x^{n+1}}{n+1}\)

\(\int x^n lnx dx= \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot lnx - \frac{1}{n+1} \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot lnx - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C= \frac{x^{n+1}}{n+1}(lnx- \frac{1}{n+1} ) +C\)

a) wzory Cramera i metoda macierzowa macierz główna układu A= \left[ \ 2, -1,-1\\ \ 3,\ \ 4,-2\\ \ 3,-2,\ \ 4\right] liczysz jej wyznacznik detA=60 Następnie liczysz wyznaczniki macierzy: A_x , A_y , A_z , gdzie macierz A_x oznacza macierz A, w której kolumnę współczynników przy zmiennej x zastąpion...

\(( \sqrt{ \frac{1+x}{1-x} })'= \frac{1}{2 \sqrt{ \frac{1+x}{1-x} } } \cdot ( \frac{1+x}{1-x})'\) czyli pochodna funkcji zewnętrznej(pierwiastka) razy pochodna funkcji wewnętrznej (pod pierwiastkiem)