Równanie okręgu

[cherryvis3]

Punkt A(2,2) jest wierzchołkiem rombu a=5, zaś prosta o równaniu x+2y-1=0 jest osią symetrii. Wyznaczyć równanie okręgu wpisanego w ten romb.

[dadam]

Prosta x+2y-1-0 jest zatem jedną z przekątnych rombu. Punkt A nie leży na tej prostej. Druga przekatna leży na prostej do niej prostopadłej i przechodzącej przez punkt A. Ma ona równanie \(y=2x-2\). Środek okręgu wpisanego w ten romb leży w punkcie przecięcia przekątnych, czyli tych dwóch prostych. \(S=(1,0)\)- środek okręgu. Zostaje do policzenia jeszcze promień

[irena]

Punkt A nie leży na danej prostej.
S- środek symetrii rombu (środek okręgu wpisanego w romb)
Prosta AS to druga oś symetrii rombu, jest prostopadła do danej prostej
\(2x-y+k=0\\2\cdot2-2+k=0\\k=-2\\AS:\ \ 2x-y-2=0\\\{2x-y-2=0\\x+2y-1=0\ /\cdot(-2)\)

\(\{2x-y-2=0\\-2x-4y+2=0\)

\(-5y=0\\y=0\\x=1\\S=(1;\ 0)\)

Odcinek AS to połowa jednej przekątnej
\(|AS|=\sqrt{(1-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}\)

p- połowa drugiej przekątnej rombu
\(p^2+(\sqrt{5})^2=5^2\\p^2=20\\p=2\sqrt{5}\)

P- pole rombu
\(P=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}=20\)

h- wysokość rombu (średnica okręgu wpisanego)
\(P=ah\\5h=20\\h=4\\2r=4\\r=2\\r^2=4\)

Równanie okręgu:
\((x-1)^2+y^2=4\)