Strona 1 z 1
rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 10:13
autor: Pawm32
\(x^5+1=0\)
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 10:31
autor: eresh
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 10:13
\(x^5+1=0\)
\(x^5+1=0\\
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0\\
x+1=0\\
x=-1\)
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 10:32
autor: Pawm32
eresh pisze: ↑18 lut 2021, 10:31
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 10:13
\(x^5+1=0\)
\(x^5+1=0\\
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0\\
x+1=0\\
x=-1\)
tak umiem, ale jak rozłożyć to dalej?>
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 10:34
autor: eresh
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 10:32
eresh pisze: ↑18 lut 2021, 10:31
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 10:13
\(x^5+1=0\)
\(x^5+1=0\\
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0\\
x+1=0\\
x=-1\)
tak umiem, ale jak rozłożyć to dalej?>
A jaka jest treść zadania? Rozłożyć na czynniki, czy może po prostu rozwiązać równanie?
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 10:38
autor: Pawm32
eresh pisze: ↑18 lut 2021, 10:34
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 10:32
eresh pisze: ↑18 lut 2021, 10:31
\(x^5+1=0\\
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0\\
x+1=0\\
x=-1\)
tak umiem, ale jak rozłożyć to dalej?>
A jaka jest treść zadania? Rozłożyć na czynniki, czy może po prostu rozwiązań równanie?
treść jest rozwiązać, ale zawsze miałem rozkładać do końca. Skąd wiadomo że ten drugi nawias nigdy nie będzie zerem>?
a ten przykład w takim razie może być tak
\(x^2_2x^4+1=0\)
\((x^4+1)^2=0\)
i tu już też widać że co by nie było x to zawsze będzie przynajmniej 1 więc zerem nie bedzie nigdy, tego też już nie rozłożę?
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 12:57
autor: panb
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 10:13
\(x^5+1=0\)
Jeśli rozwiązanie ma być w liczbach rzeczywistych, to ja bym w ogóle nie rozkładał:
\(x^5+1=0 \iff x^5=-1 \iff x=-1\) i po sprawie.
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 13:16
autor: Pawm32
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 10:38
eresh pisze: ↑18 lut 2021, 10:34
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 10:32
tak umiem, ale jak rozłożyć to dalej?>
A jaka jest treść zadania? Rozłożyć na czynniki, czy może po prostu rozwiązań równanie?
treść jest rozwiązać, ale zawsze miałem rozkładać do końca. Skąd wiadomo że ten drugi nawias nigdy nie będzie zerem>?
a ten przykład w takim razie może być tak
\(x^2_2x^4+1=0\)
\((x^4+1)^2=0\)
i tu już też widać że co by nie było x to zawsze będzie przynajmniej 1 więc zerem nie bedzie nigdy, tego też już nie rozłożę?
tam miał być wieomian
\(x^8+2x^4+1=0\)
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 13:27
autor: eresh
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 13:16
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 10:38
eresh pisze: ↑18 lut 2021, 10:34
A jaka jest treść zadania? Rozłożyć na czynniki, czy może po prostu rozwiązań równanie?
treść jest rozwiązać, ale zawsze miałem rozkładać do końca. Skąd wiadomo że ten drugi nawias nigdy nie będzie zerem>?
a ten przykład w takim razie może być tak
\(x^2_2x^4+1=0\)
\((x^4+1)^2=0\)
i tu już też widać że co by nie było x to zawsze będzie przynajmniej 1 więc zerem nie bedzie nigdy, tego też już nie rozłożę?
tam miał być wieomian
\(x^8+2x^4+1=0\)
tak, wystarczy napisać, że
\((x^4+1)^2>0\) dla każdego
\(x\in\mathbb{R}\), więc równanie jest sprzeczne
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 16:57
autor: Pawm32
a jak wyglądałby pełny rozkład na czynniki tego pierwszego wielomianu \(x^5+1\)
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 17:00
autor: eresh
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 16:57
a jak wyglądałby pełny rozkład na czynniki tego pierwszego wielomianu
\(x^5+1\)
tak jak napisałam
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 17:13
autor: Pawm32
eresh pisze: ↑18 lut 2021, 17:00
Pawm32 pisze: ↑18 lut 2021, 16:57
a jak wyglądałby pełny rozkład na czynniki tego pierwszego wielomianu
\(x^5+1\)
tak jak napisałam
no ale tam jest
\(x^4\), czyli powinien się dalej rozkładać
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 18:02
autor: panb
No i się da, ale do rozwiązania równania nic to nie wnosi.
\[x^4-x^3+x^2-x+1= \frac{1}{4} (2x^2-(\sqrt5+1)x+2)(2x^2+(\sqrt5-1)x+2)\]
Jak to zrobić? Zapisać jako iloczyn dwóch trójmianów i wyznaczyć współczynniki rozwiązując układ równań.
Re: rozkład na czynniki
: 18 lut 2021, 21:20
autor: Panko
Alternatywnie też i tak
przyjmuję , \( t=x+\frac{1}{x} \) wtedy \( x^2+\frac{1}{x^2} =t^2-2 \)
\( x^4-x^3+x^2-x+1= x^2( x^2-x+1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2} )=\\ \qquad=x^2(t^2-2+1-t)=x^2( t^2-t-1)=x^2( t- \frac{\sqrt{5} +1}{2})(t- \frac{1-\sqrt{5}}{2} )\)
wracając do zmiennej x jest
\( x^4-x^3+x^2-x+1= x^2( t- \frac{\sqrt{5} +1}{2})(t- \frac{1-\sqrt{5}}{2} ) =\\ \qquad =x^2( \frac{2(x^2+1)-x( 1+\sqrt{5} )}{2x} )(\frac{2(x^2+1)+x(\sqrt{5}-1)}{2x} ) \)
i dostajemy żądany rozkład .