forum.zadania.info

Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach lub ich dziedzinach naturalnych:
\[f(x,y)= \sqrt{y-x^2} + \sqrt{x-y^2} \]
Bardzo proszę o objaśnienie krok po kroku jak takie zadania robić ponieważ chciałbym wiedzieć jak postępować z pozostałymi przykładami. Niestety mój prowadzący nie wysyła jak zrobić chociaż jeden przykład z zadania dlatego bardzo proszę o pomoc.

Żółwie to może i lubisz, ale ani razu nie podziękowałeś za otrzymane rozwiązanie (sprawdziłem!) dlatego nie oczekuj entuzjazmu.

-> Otrzymałeś rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! <-

panb pisze: ↑05 kwie 2020, 11:46 Żółwie to może i lubisz, ale ani razu nie podziękowałeś za otrzymane rozwiązanie (sprawdziłem!) dlatego nie oczekuj entuzjazmu.

-> Otrzymałeś rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! <-

Z trzech postów bo tego nie liczę w dwóch podziękowałem za odpowiedź w trzecim faktycznie tego nie zrobiłem, nie pamiętam dlaczego i nie mam zamiaru się usprawiedliwiać.

A co to są dziedziny naturalne?

Jest taki przycisk u góry strony do "formalnego dziękowania" i to jego miałem na myśli.
Nie chodzi o usprawiedliwianie się, ale zauważyłem, że to nagminne.
Ludzie uważają chyba, że siedzi banda znudzonych nerdów i z ekstazą rzuca się do rozwiązywania czyichś zadań.

Policzę ci dziedzinę naturalną tej funkcji, żeby nie było.
\(f(x)=\sqrt{y-x^2}+\sqrt{x-y^2}\\
y\ge x^2 \wedge x\ge y^2 \iff x^2\le y \le x \wedge x^2\le x\\
D=\{(x,y)\in\rr^2: x^2\le y \le x ,\,\, 0\le x \le 1\}\)

kerajs pisze: ↑05 kwie 2020, 13:50 A co to są dziedziny naturalne?

Takie, które obejmują wszystkie dopuszczalne argumenty biorąc pod uwagę wzór funkcji.

panb pisze: ↑05 kwie 2020, 13:51 Jest taki przycisk u góry strony do "formalnego dziękowania" i to jego miałem na myśli.
Nie chodzi o usprawiedliwianie się, ale zauważyłem, że to nagminne.
Ludzie uważają chyba, że siedzi banda znudzonych nerdów i z ekstazą rzuca się do rozwiązywania czyichś zadań.

Policzę ci dziedzinę naturalną tej funkcji, żeby nie było.
\(f(x)=\sqrt{y-x^2}+\sqrt{x-y^2}\\
y\ge x^2 \wedge x\ge y^2 \iff x^2\le y \le x \wedge x^2\le x\\
D=\{(x,y)\in\rr^2: x^2\le y \le x ,\,\, 0\le x \le 1\}\)

Dziękuję za zwrócenie uwagi odnośnie tego formalnego dziękowania oraz policzenia dziedziny ale czy mógłbyś powiedzieć co dalej policzyć? Nie musi to być gotowe rozwiązanie. Myślę że teraz należałoby policzyć pochodne cząstkowe, a następnie przyrównać je do zera i sprawdzić czy należą do dziedziny.

Czyli dziedzina naturalna to po prostu dziedzina, a nie zbiór możliwych par liczb naturalnych.
Skoro dziedziną jest soczewka o wierzchołkach w (0,0) i (1,1) i tam funkcja przyjmuje wartość najmniejszą (bo mam sumę nieujemnych składników) równą zero to wartość największa będzie na osi symetrii soczewki czyli na prostej y=-x+1, co sprowadzi zadanie doszukania maksimum funkcji jednej zmiennej, choć i tak wiadomo że maksimum będzie na środku tego odcinka (fragmentu prostej y=-x+1 zawartej w soczewce) czyli w środku soczewki i wynosi 1.

No, zobaczymy.
\( \frac{ \partial f}{ \partial x}= \frac{1}{2 \sqrt{x-y^2} } - \frac{x}{ \sqrt{y-x^2} } , \quad \frac{ \partial f}{ \partial y}= \frac{1}{2 \sqrt{y-x^2} } - \frac{y}{ \sqrt{x-y^2} } \\
\begin{cases}\frac{ \partial f}{ \partial x}=0\\ \frac{ \partial f}{ \partial y}=0\end{cases} \iff \begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{x-y^2} }= \frac{x}{ \sqrt{y-x^2} }\\ \frac{1}{2 \sqrt{y-x^2} }= \frac{y}{ \sqrt{x-y^2} }\end{cases} \So 4xy=1 \\
\begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{x-y^2} }= \frac{x}{ \sqrt{y-x^2} } \\4xy=1\end{cases} \iff \begin{cases}4x^2(x-y^2)=y-x^2 \\4xy=1 \end{cases} \iff \begin{cases}4xy=1 \\16x^4+4x^3-x-1=0 \end{cases} \\
\begin{cases} 4xy=1\\ (2x-1)(2x+1)(4x^2+x+1)=0\end{cases} \So x=y= \frac{1}{2}\,\, \left(x=y=- \frac{1}{2} \notin D \right) \)

Teraz trzeba policzyć drugie pochodne cząstkowe i utworzyć wyznacznik dla punktu krytycznego \( \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \). Okaże się, że w tym punkcie jest maksimum.

To jednak nie koniec, bo trzeba jeszcze sprawdzić brzegi obszaru będącego dziedziną.
One są określone równaniami \(x=y^2\) oraz \(y^2=x\), gdzie \(0\le x \le 1\)