Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach lub ich dziedzinach naturalnych:
\[f(x,y)= \sqrt{y-x^2} + \sqrt{x-y^2} \]
Bardzo proszę o objaśnienie krok po kroku jak takie zadania robić ponieważ chciałbym wiedzieć jak postępować z pozostałymi przykładami. Niestety mój prowadzący nie wysyła jak zrobić chociaż jeden przykład z zadania dlatego bardzo proszę o pomoc.
Najmniejsze i największe wartości funkcji dwóch zmiennych.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 12 gru 2019, 15:49
- Podziękowania: 8 razy
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Najmniejsze i największe wartości funkcji dwóch zmiennych.
Żółwie to może i lubisz, ale ani razu nie podziękowałeś za otrzymane rozwiązanie (sprawdziłem!) dlatego nie oczekuj entuzjazmu.
-> Otrzymałeś rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! <-
-> Otrzymałeś rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! <-
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 12 gru 2019, 15:49
- Podziękowania: 8 razy
Re: Najmniejsze i największe wartości funkcji dwóch zmiennych.
Z trzech postów bo tego nie liczę w dwóch podziękowałem za odpowiedź w trzecim faktycznie tego nie zrobiłem, nie pamiętam dlaczego i nie mam zamiaru się usprawiedliwiać.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Najmniejsze i największe wartości funkcji dwóch zmiennych.
Jest taki przycisk u góry strony do "formalnego dziękowania" i to jego miałem na myśli.
Nie chodzi o usprawiedliwianie się, ale zauważyłem, że to nagminne.
Ludzie uważają chyba, że siedzi banda znudzonych nerdów i z ekstazą rzuca się do rozwiązywania czyichś zadań.
Policzę ci dziedzinę naturalną tej funkcji, żeby nie było.
\(f(x)=\sqrt{y-x^2}+\sqrt{x-y^2}\\
y\ge x^2 \wedge x\ge y^2 \iff x^2\le y \le x \wedge x^2\le x\\
D=\{(x,y)\in\rr^2: x^2\le y \le x ,\,\, 0\le x \le 1\}\)
Nie chodzi o usprawiedliwianie się, ale zauważyłem, że to nagminne.
Ludzie uważają chyba, że siedzi banda znudzonych nerdów i z ekstazą rzuca się do rozwiązywania czyichś zadań.
Policzę ci dziedzinę naturalną tej funkcji, żeby nie było.
\(f(x)=\sqrt{y-x^2}+\sqrt{x-y^2}\\
y\ge x^2 \wedge x\ge y^2 \iff x^2\le y \le x \wedge x^2\le x\\
D=\{(x,y)\in\rr^2: x^2\le y \le x ,\,\, 0\le x \le 1\}\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Najmniejsze i największe wartości funkcji dwóch zmiennych.
Takie, które obejmują wszystkie dopuszczalne argumenty biorąc pod uwagę wzór funkcji.
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 12 gru 2019, 15:49
- Podziękowania: 8 razy
Re: Najmniejsze i największe wartości funkcji dwóch zmiennych.
Dziękuję za zwrócenie uwagi odnośnie tego formalnego dziękowania oraz policzenia dziedziny ale czy mógłbyś powiedzieć co dalej policzyć? Nie musi to być gotowe rozwiązanie. Myślę że teraz należałoby policzyć pochodne cząstkowe, a następnie przyrównać je do zera i sprawdzić czy należą do dziedziny.panb pisze: ↑05 kwie 2020, 13:51 Jest taki przycisk u góry strony do "formalnego dziękowania" i to jego miałem na myśli.
Nie chodzi o usprawiedliwianie się, ale zauważyłem, że to nagminne.
Ludzie uważają chyba, że siedzi banda znudzonych nerdów i z ekstazą rzuca się do rozwiązywania czyichś zadań.
Policzę ci dziedzinę naturalną tej funkcji, żeby nie było.
\(f(x)=\sqrt{y-x^2}+\sqrt{x-y^2}\\
y\ge x^2 \wedge x\ge y^2 \iff x^2\le y \le x \wedge x^2\le x\\
D=\{(x,y)\in\rr^2: x^2\le y \le x ,\,\, 0\le x \le 1\}\)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Najmniejsze i największe wartości funkcji dwóch zmiennych.
Czyli dziedzina naturalna to po prostu dziedzina, a nie zbiór możliwych par liczb naturalnych.
Skoro dziedziną jest soczewka o wierzchołkach w (0,0) i (1,1) i tam funkcja przyjmuje wartość najmniejszą (bo mam sumę nieujemnych składników) równą zero to wartość największa będzie na osi symetrii soczewki czyli na prostej y=-x+1, co sprowadzi zadanie doszukania maksimum funkcji jednej zmiennej, choć i tak wiadomo że maksimum będzie na środku tego odcinka (fragmentu prostej y=-x+1 zawartej w soczewce) czyli w środku soczewki i wynosi 1.
Skoro dziedziną jest soczewka o wierzchołkach w (0,0) i (1,1) i tam funkcja przyjmuje wartość najmniejszą (bo mam sumę nieujemnych składników) równą zero to wartość największa będzie na osi symetrii soczewki czyli na prostej y=-x+1, co sprowadzi zadanie doszukania maksimum funkcji jednej zmiennej, choć i tak wiadomo że maksimum będzie na środku tego odcinka (fragmentu prostej y=-x+1 zawartej w soczewce) czyli w środku soczewki i wynosi 1.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Najmniejsze i największe wartości funkcji dwóch zmiennych.
No, zobaczymy.
\( \frac{ \partial f}{ \partial x}= \frac{1}{2 \sqrt{x-y^2} } - \frac{x}{ \sqrt{y-x^2} } , \quad \frac{ \partial f}{ \partial y}= \frac{1}{2 \sqrt{y-x^2} } - \frac{y}{ \sqrt{x-y^2} } \\
\begin{cases}\frac{ \partial f}{ \partial x}=0\\ \frac{ \partial f}{ \partial y}=0\end{cases} \iff \begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{x-y^2} }= \frac{x}{ \sqrt{y-x^2} }\\ \frac{1}{2 \sqrt{y-x^2} }= \frac{y}{ \sqrt{x-y^2} }\end{cases} \So 4xy=1 \\
\begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{x-y^2} }= \frac{x}{ \sqrt{y-x^2} } \\4xy=1\end{cases} \iff \begin{cases}4x^2(x-y^2)=y-x^2 \\4xy=1 \end{cases} \iff \begin{cases}4xy=1 \\16x^4+4x^3-x-1=0 \end{cases} \\
\begin{cases} 4xy=1\\ (2x-1)(2x+1)(4x^2+x+1)=0\end{cases} \So x=y= \frac{1}{2}\,\, \left(x=y=- \frac{1}{2} \notin D \right) \)
Teraz trzeba policzyć drugie pochodne cząstkowe i utworzyć wyznacznik dla punktu krytycznego \( \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \). Okaże się, że w tym punkcie jest maksimum.
To jednak nie koniec, bo trzeba jeszcze sprawdzić brzegi obszaru będącego dziedziną.
One są określone równaniami \(x=y^2\) oraz \(y^2=x\), gdzie \(0\le x \le 1\)
\( \frac{ \partial f}{ \partial x}= \frac{1}{2 \sqrt{x-y^2} } - \frac{x}{ \sqrt{y-x^2} } , \quad \frac{ \partial f}{ \partial y}= \frac{1}{2 \sqrt{y-x^2} } - \frac{y}{ \sqrt{x-y^2} } \\
\begin{cases}\frac{ \partial f}{ \partial x}=0\\ \frac{ \partial f}{ \partial y}=0\end{cases} \iff \begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{x-y^2} }= \frac{x}{ \sqrt{y-x^2} }\\ \frac{1}{2 \sqrt{y-x^2} }= \frac{y}{ \sqrt{x-y^2} }\end{cases} \So 4xy=1 \\
\begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{x-y^2} }= \frac{x}{ \sqrt{y-x^2} } \\4xy=1\end{cases} \iff \begin{cases}4x^2(x-y^2)=y-x^2 \\4xy=1 \end{cases} \iff \begin{cases}4xy=1 \\16x^4+4x^3-x-1=0 \end{cases} \\
\begin{cases} 4xy=1\\ (2x-1)(2x+1)(4x^2+x+1)=0\end{cases} \So x=y= \frac{1}{2}\,\, \left(x=y=- \frac{1}{2} \notin D \right) \)
Teraz trzeba policzyć drugie pochodne cząstkowe i utworzyć wyznacznik dla punktu krytycznego \( \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \). Okaże się, że w tym punkcie jest maksimum.
To jednak nie koniec, bo trzeba jeszcze sprawdzić brzegi obszaru będącego dziedziną.
One są określone równaniami \(x=y^2\) oraz \(y^2=x\), gdzie \(0\le x \le 1\)