forum.zadania.info

Rozwiąż równianie w liczbach zespolonych:
\((e^z)^4=(1+i)^4\)

Obliczyłam, że \(e^{4z}=-4\) ale nie wiem co dalej zrobić...
Czy ma ktoś jakiś pomysł ?
Czy należy to rozpisać w ten sposób:
\(e^{4z}=e^{4x+4iy}=e^{4x}(cos4y+isin4y)\) ?

\(e^{4x}(cos4y+isin4y)=-4\)

czy po prostu będzie to:
\(z \in \frac{1}{4} log(-4) = [ ln|-4|+i( \pi +2k \pi )] \)

Wpierw bym spierwiastkował dostając cztery równania:
\(e^z=1+i \vee e^z=-(1+i) \vee e^z=i(1+i) \vee e^z=-i(1+i)\)

pierwsze:
\(e^z= \sqrt{2} e^{i (\frac{ \pi }{4}+k2 \pi ) } \\
e^z= e^{\ln \sqrt{2} }e^{i (\frac{ \pi }{4}+k2 \pi ) } \\
z= \ln \sqrt{2}+i (\frac{ \pi }{4}+k2 \pi ) \)

kolejne samodzielnie

\(e^z=1+i \vee e^z=-(1+i) \vee e^z=i(1+i) \vee e^z=-i(1+i)\)

W jaki sposób wyznaczyliśmy te cztery równania?

\((e^z)^4=(1+i)^4\\
e^z=(1+i) \cdot \sqrt[4]{1} \)
A ten pierwiastek pewnie potrafisz policzyć, więc otrzymasz powyższe wyniki.