forum.zadania.info

Wykaż, że jeśli n jest liczbą całkowitą nieparzystą, to liczba \(n^2-1\) jest podzielna przez 8. Proszę o wytłumaczenie.Jak zrobić to wprost i niewprost?

\((2k+1)^2-1=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k(2k+2)=4k(k+1)\)
Wśród kolejnych liczb k i k+1 jedna jest parzysta.

Nie wiem o co ci chodzi z dowodem nie wprost. Założyć, że nie jest podzielna i dojść do wniosku, że n jest parzysta?
Pokrętne.


Oto dowód wprost
Założenie: \(n=2k+1, k\in \zz\)
Wtedy

• \(n^2-1=(n-1)(n+1)=2k(2k+2)=4k(k+1)\).

Wiadomo, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczba parzystą, więc \(k(k+1)=2m, m\in \zz\).
Stąd

• \(n^2-1=4 \cdot 2m=8m\) czyli \(8|(n^2-1)\)

c.n.d.

W dowodzie nie wprost tu bazujemy na równoważności : \(\sim( p \So q) \iff p \wedge (\sim q)\)
Czyli z koniunkcji : ( \(n=2k+1, k \in Z\) \(\) ) i (\(8\) nie dzieli \(\) \(n^2-1\)) wyprowadzamy sprzeczność , co jest oczywiste jak popatrzysz na poprzednie posty.