forum.zadania.info

Cześć, mam problem z takim przykładem:
\[\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n( \sqrt{n^2+n} - n)}\] Aby go rozwiązać, używam kryterium porównawczego wraz z szeregiem Dirichleta. Zanim to jednak zrobię mnożę wyraz przed nawiasem i wychodzi:
\[\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n + 1 - n^2}\] Co pozwala na wskazanie szeregu Dirichleta:
\[\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n^2}\] Wykładnik potęgi jest większy od 1, zatem szereg jest zbieżny. Odpowiedzi wskazują jednak, że jest rozbieżny. Zakładam, że źle robię mnożąc wyrazy w nawiasie, ale nie potrafię zrobić tego inaczej - przerażają mnie wymierne mianowniki Jak to rozwiąząć?

Jeszcze są dwa przykłady z którymi mam problem i nie mogę ich pojąć.
\[\sum_{n=1}^{ \infty } \sin \frac{1}{n^2}\] oraz \[\sum_{n=1}^{ \infty } \tg \frac{1}{ \sqrt{n}}\] Wyciągnięcie zwykłego \[\frac{1}{n^2}\]
z pierwszego nic mi nie daje, a nie wiem jak inaczej podejść taki przykład.

Będę wdzięczny za pomoc! Pozdrawiam.

Co do wspomnianego szeregu Dirichleta: \[\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2}\] I rzecz jasna chodzi mi o kryterium porównawcze.
Przepraszam za błędy - ostatni raz forum używałem dobre 7 lat temu

Najpierw zauważmy, że \(\sqrt{1+ \frac{1}{n} }<1+ \frac{1}{n} \So \sqrt{1+ \frac{1}{n} }-1< \frac{1}{n}\).
Łatwo to widać, bo obie liczby są dodatnie i po podniesieniu obustronnym do kwadratu otrzymujemy taką nierówność . Skoro tak, to

\(\frac{1}{n(\sqrt{n^2+n}-n)}= \frac{1}{n^2 \left(\sqrt{1+ \frac{1}{n}}-1 \right) }> \frac{1}{n^2 \cdot \frac{1}{n} }= \frac{1}{n}\), więc na mocy kryterium porównawczego szereg ten jest rozbieżny.

Słusznie, dziękuję za odpowiedź.

Jak rozprawić się z pozostałymi przykładami?

\(\frac{\sin x}{x} \le1\) i po sprawie - szereg jest zbieżny (kryterium porównawcze)

Rzeczywiście, tak to wygląda. Mimo to tangens przyjmuje wartości x należący do R, więc tutaj sprawa będzie wygląda inaczej, czy może nie?

Może nie, bo\(\frac{\tg x}{x} \ge 1\) - szereg jest rozbieżny \(\left( \ge \frac{1}{\sqrt n}\right)\)

Dziękuję serdecznie