Cześć, mam problem z takim przykładem:
\[\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n( \sqrt{n^2+n} - n)}\]
Aby go rozwiązać, używam kryterium porównawczego wraz z szeregiem Dirichleta. Zanim to jednak zrobię mnożę wyraz przed nawiasem i wychodzi:
\[\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n + 1 - n^2}\]
Co pozwala na wskazanie szeregu Dirichleta:
\[\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n^2}\]
Wykładnik potęgi jest większy od 1, zatem szereg jest zbieżny. Odpowiedzi wskazują jednak, że jest rozbieżny. Zakładam, że źle robię mnożąc wyrazy w nawiasie, ale nie potrafię zrobić tego inaczej - przerażają mnie wymierne mianowniki Jak to rozwiąząć?
Jeszcze są dwa przykłady z którymi mam problem i nie mogę ich pojąć.
\[\sum_{n=1}^{ \infty } \sin \frac{1}{n^2}\]
oraz
\[\sum_{n=1}^{ \infty } \tg \frac{1}{ \sqrt{n}}\]
Wyciągnięcie zwykłego \[\frac{1}{n^2}\]
z pierwszego nic mi nie daje, a nie wiem jak inaczej podejść taki przykład.
Będę wdzięczny za pomoc! Pozdrawiam.
Zbieżność szeregów - kre
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Najpierw zauważmy, że \(\sqrt{1+ \frac{1}{n} }<1+ \frac{1}{n} \So \sqrt{1+ \frac{1}{n} }-1< \frac{1}{n}\).
Łatwo to widać, bo obie liczby są dodatnie i po podniesieniu obustronnym do kwadratu otrzymujemy taką nierówność . Skoro tak, to
\(\frac{1}{n(\sqrt{n^2+n}-n)}= \frac{1}{n^2 \left(\sqrt{1+ \frac{1}{n}}-1 \right) }> \frac{1}{n^2 \cdot \frac{1}{n} }= \frac{1}{n}\), więc na mocy kryterium porównawczego szereg ten jest rozbieżny.
Łatwo to widać, bo obie liczby są dodatnie i po podniesieniu obustronnym do kwadratu otrzymujemy taką nierówność . Skoro tak, to
\(\frac{1}{n(\sqrt{n^2+n}-n)}= \frac{1}{n^2 \left(\sqrt{1+ \frac{1}{n}}-1 \right) }> \frac{1}{n^2 \cdot \frac{1}{n} }= \frac{1}{n}\), więc na mocy kryterium porównawczego szereg ten jest rozbieżny.