algebra liniowa - zadania

[lukas_7]

Zad.1
Określić wymiar i wskazać przykładową bazę przestrzeni generowanej przez wektory:
1) \((1,3,2,-1),(2,0,3,1),(1,3,2,2)\)
2) \((2,1,-1,3,5),(1,3,2,-2,1),(3,4,1,1,6),(1,-2,-3,5,4)\)
3) \((2,1,4),(1,4,3),(-2,3,2),(-2,3,2),(-1,0,2)\)
4) \((3,2,1,0),(2,-1,2,1),(1,1,1,1),(4,0,2,0)\)

Zad.2
Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) rząd macierzy \(\begin{bmatrix} 2&3&1&0&2\\1&2&a&2&1\\0&1&1&4&0\\1&3&2&6&b\end{bmatrix}\) jest najmniejszy?

Zad.3
Znaleźć rozwiązanie układu równań \(A(x)=b\), dla:

1) \(A= \left[ \begin{array}{ll}2&3\\3&2\\-1&2 \end{array} \right]\)
\(b= \left[ \begin{array}{l}1\\-2\\-3 \end{array} \right]\)
2) \(A= \left[ \begin{array}{lIl}1&2&-3\\2&1&-2 \end{array} \right]\)
\(b= \left[ \begin{array}{l}2\\-1 \end{array} \right]\)
3) \(A= \left[ \begin{array}{llIII}2&3&1&2&1\\1&4&2&1&2\\-1&1&1&-1&-1\\5&5&1&5&1 \end{array} \right]\)
\(b= \left[ \begin{array}{l}1\\3\\2\\0 \end{array} \right]\)
4) \(A= \left[ \begin{array}{llIIII} 2&3&1&2&1&4\\1&4&1&2&1&2\\0&5&3&0&3&-2\\6&8&2&3&7&1\end{array} \right]\)
\(b= \left[ \begin{array}{l} 1\\3\\5\\9\end{array} \right]\)

Zad.4
Dla operatora liniowego wyznaczyć zbiór tych wektorów \(b\), dla których równanie \(A(x)=b\) ma rozwiązanie.

1) \(A: R^{3} \rightarrow R^{3}, A(x,y,z)=(x-y,x+z,x-y+z)\)
2) \(A: R^{4} \rightarrow R^{4}, A(x,y,z,w)=(x-y-z+2w, 2x+3y-z+w,x+y+w,x-z-3w)\)

Zad.5
Wykazać, że jeśli równanie liniowe \(A(x)=b\) ma dwa różne rozwiązania, to ma ich nieskończenie wiele.

Zad.6
Wykazać, że jeśli \(x_{0}\) jest rozwiązaniem równania liniowego \(A(x)=b\), a \(x_{1},x_{2},...,x_{k}\) są rozwiazaniami równania liniowego jednorodnego stowarzyszonego, to \(x_{0}+a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k}\) jest też rozwiązaniem równania \(A(x)=b\).

[marcin8918]

zad. 1
Określić wymiar i wskazać przykładową bazę przestrzeni generowanej przez wektory:
a) (1,3,2,-1), (2,0,3,1), (1,3,2,2);
b) (2,1,-1,3,5), (1,3,2,-2,1), (3,4,1,1,6), (1,-2,-3,5,4);
c) (2,1,4), (1,4,3), (-2,3,2), (-1,0,2);
d) (3,2,1,0), (2,-1,2,1), (1,1,1,1) (4,0,2,0).

zad.2
Dla jakich wartości parametrów a i b rząd macierzy:
2 3 1 0 2 jest najmniejszy ?
1 2 a 2 1
0 1 1 4 0
1 3 2 6 b

zad. 3
Wykazać, że jeśli równanie liniowe A(x) = b ma dwa różne rozwiązania, to ma ich nieskończenie wiele.

zad. 4
Wykazać, że jeśli Xo jest rozwiązaniem równania liniowego A(x) = b, a x1, x2, ..., xk są rozwiązaniami równania liniowego jednorodnego stowarzyszonego, to xo + α1x1 + ... + αkxk jest też rozwiązaniem równania A(x) =b.

zad. 5
Znaleźć macierz X spełniającą równanie AXB = C dla:

1 2 3 0 1 1 2 1 1 3 9 8
A = 0 1 2 3 B = 0 1 2 2 C = 0 1 4 10
2 2 0 1 0 0 1 1 2 4 8 8
1 1 0 0 0 0 0 2 1 2 4 3


Trochę mi nie wyszło zapisanie tych macierzy, ale mam nadzieję, że uda się je odczytać. (te z zadania nr 5 mają po 4 kolumny i 4 wiersze, natomiast z zadania nr 2, 5 na 4).


Z góry dziękuję za poświęcony czas i rozwiązania.

[lukas_7]

http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=9&t=705

Wrzuciłem już tutaj wcześniej te zadania. Chyba bez jednego. Zapis jest ładniejszy.

Ale Twój temat jest lepszy.

Pozdrawiam kolegę z grupy!

[marcin8918]

faktycznie:) nie zauważyłem, mój błąd. No więc możemy uznać mój post za usunięty, a ewentualne odpowiedzi podejrzę u Ciebie hehe, pozdro

[supergolonka]

1. http://www.zadania.info/5181704
2. http://www.zadania.info/7420022
3. http://www.zadania.info/6742680
4. http://www.zadania.info/3681283
5. http://www.zadania.info/1255784
6. http://www.zadania.info/6846157
5. http://www.zadania.info/8831560

Te układy to trochę syf, więc dajcie znać jak są tam pomyłki.