Całki wymierne - prośba o sprawdzenie obliczeń

[Gokus]

W dwóch całkach wymiernych wychodzą mi wyniki minimalnie różne od odpowiedzi, prosiłbym o wskazanie błędu w rozwiązaniu.
Jeśli są to jakieś "dziecinne" błędy to przepraszam.

1.
\(\int frac{3x+5}{2x^2+5x} dx = \int \frac{3x+5}{x(2x+5)} \equiv \frac{A}{x} + \frac{B}{2x+5} = ***\)
\(3x+5 \equiv A(2x+5) + Bx\)
\(3x+5 \equiv 2Ax + 5A + Bx\)
\(3x+5 \equiv (2A + B)x + 5A\)
\(\begin{cases}2A + B = 3 \\ 5A = 5 \end{cases} \iff \begin{cases}2A + B = 3 \\ A = 1 \end{cases} \iff \begin{cases}2 + B = 3 \\ A = 1 \end{cases} \iff \begin{cases}B = 1 \\ A = 1 \end{cases}\)
\(*** = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{dx}{2x+5} = ln|x| + ln|2x+5| + C\)

Wynik w Wolfram: \(ln|x| + \frac{1}{2} ln|2x+5| + C\)

2.
\(\int \frac{x^3 + 4x^2 + 2}{2x^5 + x^3} dx = \int \frac{x^3 + 4x^2 + 2}{x^3(2x^2+1)} dx \equiv \frac{A}{x^3} + \frac{B}{2x^2 +1} = ***\)
\(x^3 + 4x^2 + 2 \equiv A(2x^2 + 1) + Bx^3\)
\(x^3 = 4x^2 + 2 \equiv 2Ax^2 + A + Bx^3\)
\(\begin{cases} B = 1 \\ A = 2 \end{cases}\)
\(*** = \int \frac{2}{x^3} dx + \int \frac{dx}{2x^2 + 1} = 2 \int x^{-3} dx + \int \frac{dx}{{(\sqrt{2}x)}^2 + 1^2} = 2 (- \frac{1}{2})x^{-2} + arctg \frac{\sqrt{2}x}{1} + C = arctg (\sqrt{2}x) - \frac{1}{x^2} + C\)

Wynik prawidłowy: \(\frac{1}{\sqrt{2}} arctg(\sqrt{2}x) - \frac{1}{x^2} + C\)

[denatlu]

Wolfram się nie myli, że \(\int \frac{dx}{2x+5}=\frac{\ln(2x+5)}{2}\), dla sprawdzenia policz sobie pochodną prawej strony

[Gokus]

Wiem, że się nie myli, ale chciałem dowiedzieć się gdzie w moich obliczeniach jest błąd - nie mogę się go dopatrzeć.

[denatlu]

Pochodna z \(\ln(2x+5)\) wynosi \(\frac{2}{(2x+5)}\). Widzisz teraz, że ta dwójka w liczniku jako pochodna funkcji wewnętrznej nam nie pasuje ? Ona ma zostać zniesiona żeby otrzymać wyjściowe wyrażenie.

[Gokus]

W pierwszym przykładzie już naprawiłem błąd - policzyłem całkę \(\int \frac{dx}{2x+5}\) przez podstawienie i już jest ok.

Mógłby ktoś wobec tego pomóc w poprawie przykładu drugiego?

Z góry dziękuje

[denatlu]

Wzór z którego skorzystałeś używaj gdy masz wyrażenie typu \(x^2+a^2\) w mianowniku, tzn przy iksie niech stoi jedynka. Wyciągnij w takim razie sobie tę dwójkę przed nawias i wyjdzie Ci jak trzeba.