Ciąg \(a(n)\) określony jest w następujący sposób: \(a1=1\), zaś n-ty wyraz ciągu\((an)\), gdzi \(n \ge 2\), jest największym dzielnikiem liczby n mniejszym od n.
a)Wyznacz \(a44 i a51\)
b)Naszkicuj wykres ciągu \((an)\) dla\(n \le 10\)
c) Dla jakich n zachodzi równość \(an=1\)
d)Ile wyrazów ciągu \((an)\) jest równych 2? Odp uzasadnij
ciągi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
r=3
\(a_k^ 2-28=a_{k+1}^ 2-a_{k-1}^ 2\)
\(a_k^2-28=(a_k+r-a_k+r)(a_k+r+a_k-r)\)
\(a_k^2-28=2r \cdot 2a_k\ \ \ \ \ i\ \ \ \ r=3\)
\(a_k^2-12a_k-28=0\)
\(\Delta =256=(16)^2\ \ \ \ i\ \ \ \ a_k=-2\ \ \ \ lub \ \ \ \ a_k=14\ \ \ \ \ i\ \ \ \ a_k=3k-4\ \ \ \ i\ \ \ \ k \in N_+\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ k=6\)
\(a_k^ 2-28=a_{k+1}^ 2-a_{k-1}^ 2\)
\(a_k^2-28=(a_k+r-a_k+r)(a_k+r+a_k-r)\)
\(a_k^2-28=2r \cdot 2a_k\ \ \ \ \ i\ \ \ \ r=3\)
\(a_k^2-12a_k-28=0\)
\(\Delta =256=(16)^2\ \ \ \ i\ \ \ \ a_k=-2\ \ \ \ lub \ \ \ \ a_k=14\ \ \ \ \ i\ \ \ \ a_k=3k-4\ \ \ \ i\ \ \ \ k \in N_+\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ k=6\)
a)
\(a_{44}=22\\a_{51}=17\)
b)
wykres składa się z dziesięciu punktów. Pierwsza współrzędna to liczba 1, 2, 3, ..., 9, 10, a druga to wyraz ciągu;
\(a_1=1\\a_2=1\\a_3=1\\a_4=2\\a_5=1\\a_6=3\\a_7=1\\a_8=4\\a_9=3\\a_{10}=5\). Czyli będą to punkty:
(1,1), (2,1), (3,1), (4,2), (5,1), (6,3), (7,1), (8,4), (9,3), (10,5).
c)
\(a_n=1\) dla n=1 lub dla n będącego liczba pierwszą
d)
Tylko jeden wyraz tego ciągu jest równy 2. To wyraz czwarty. Liczba 2 jest dzielnikiem liczby parzystej. Każda liczba parzysta k jest postaci 2m, gdzie m jest liczbą naturalną. Żeby liczba 2 była największym dzielnikiem liczby k, mniejszym od k, musi być spełniona nierówność: \(2 \le m \le 2\). Jest tak dla m=2. Zatem liczba k, spełniająca warunek zadania musi być równa 4.
\(a_{44}=22\\a_{51}=17\)
b)
wykres składa się z dziesięciu punktów. Pierwsza współrzędna to liczba 1, 2, 3, ..., 9, 10, a druga to wyraz ciągu;
\(a_1=1\\a_2=1\\a_3=1\\a_4=2\\a_5=1\\a_6=3\\a_7=1\\a_8=4\\a_9=3\\a_{10}=5\). Czyli będą to punkty:
(1,1), (2,1), (3,1), (4,2), (5,1), (6,3), (7,1), (8,4), (9,3), (10,5).
c)
\(a_n=1\) dla n=1 lub dla n będącego liczba pierwszą
d)
Tylko jeden wyraz tego ciągu jest równy 2. To wyraz czwarty. Liczba 2 jest dzielnikiem liczby parzystej. Każda liczba parzysta k jest postaci 2m, gdzie m jest liczbą naturalną. Żeby liczba 2 była największym dzielnikiem liczby k, mniejszym od k, musi być spełniona nierówność: \(2 \le m \le 2\). Jest tak dla m=2. Zatem liczba k, spełniająca warunek zadania musi być równa 4.
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
a.
\(a_1=1\)
\(a_2=a_1-3 \cdot 1+1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a_2=-1\)
\(a_3=a_2-3 \cdot 2+1\ \ \ \ \Rightarrow \ \ a_3=-6\)
\(a_4=a_3-3 \cdot 3+1\ \ \ \ \Rightarrow \ \ a_4=-14\)
b.
\(\bigwedge_{n \in N}\ a_{n+1}-a_n=a_n-3n+1-a_n=-3n+1<0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \bigwedge_{n \in N}\ a_{n+1}<a_n\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \\)dany ciąg jest malejący
\(a_1=1\)
\(a_2=a_1-3 \cdot 1+1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a_2=-1\)
\(a_3=a_2-3 \cdot 2+1\ \ \ \ \Rightarrow \ \ a_3=-6\)
\(a_4=a_3-3 \cdot 3+1\ \ \ \ \Rightarrow \ \ a_4=-14\)
b.
\(\bigwedge_{n \in N}\ a_{n+1}-a_n=a_n-3n+1-a_n=-3n+1<0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \bigwedge_{n \in N}\ a_{n+1}<a_n\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \\)dany ciąg jest malejący