Ostrosłupy .

[BlackInsomnia]

1. Podstawa ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma pole równe 81√3 . Kąt nachylenia krawędzi bocznej do wysokości ostrosłupa ma miarę 60 ˚ . Oblicz długość krawędzi bocznej i wysokości ostrosłupa.


2.Krawędź boczna szałasu w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4m i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 45˚ . Ile waży powietrze wypełniające ten szałas, jeśli 1m sześcienny powietrza waży 1,2 kg ?

[irena]

1.
a- krawędź podstawy
\(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3}\\a^2=324\\a=18\)
Wysokość ostrosłupa (H), krawędź boczna (b) i promień okręgu opisanego na trójkącie podstawy (R) tworzą trójkąt prostokątny.

\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\R=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}\)

\(\frac{H}{R}=ctg60^o\\\frac{H}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\H=6\\\frac{H}{b}=cos60^o\\\frac{6}{b}=\frac{1}{2}\\b=12\)

2.
H- wysokość ostrosłupa
b=4m- krawędź boczna
R- promień okręgu opisanego na podstawie (połowa przekątnej kwadratu)
\(\frac{H}{b}=sin45^o\\\frac{H}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\H=2\sqrt{2}m\\\frac{R}{H}=ctg45^o\\\frac{R}{2\sqrt{2}}=1\\R=2\sqrt{2}m\)
d- przekątna kwadratu:
\(d=2R\\d=4\sqrt{2}m\)

Pole [podstawy:
\(P_p=\frac{1}{2}d^2\\P_p=\frac{1}{2}\cdot(4\sqrt{2})^2=\frac{1}{2}\cdot32=16m^2\)

Objętość:
\(V=\frac{1}{3}P_pH\\V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{2}=\frac{32\sqrt{2}}{3}m^3\approx15,08m^3\)

Waga powietrza:
\(W\approx15,08\cdot1,2kg18,096kg\)

[anka]

2.
Przekątną kwadratu można policzyć z Pitagorasa. Trójkąt o bokach krawędź boczna, krawędź boczna, przekątna podstawy jest prostokątny.

[BlackInsomnia]

A mógłby mi ktoś rozwiązać bez tych cosinus i tych innych ? bo jeszcze tego nie miałam .

[irena]

Oczywiście.
1.
Przyjmuję, że obliczenie a i R jest jasne.
Masz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych H i R i przeciwprostokątnej b.Kąt ostry między R i b ma miarę \(60^o\). Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku b. Połowa boku trójkąta równobocznego to H, R jest wysokością. Czyli:
\(\frac{b\sqrt{3}}{2}=R\\\frac{b\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\\b=12\\H=\frac{1}{2}b\\H=6\)

2.
Trójkąt prostokątny jest utworzony przez b- przeciwprostokątna, H, R- przyprostokątne. Kąt ostry tego trójkąta ma \(45^o\). Jest to więc trójkąt równoramienny (połowa kwadratu). Więc H=R i \(H\sqrt{2}=b\).

\(R\sqrt{2}=4\\R=\frac{4}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\R=H=2\sqrt{2}m\)

Promień okręgu opisanego na kwadracie to połowa przekątnej kwadratu. Czyli d- przekątna \(d=4\sqrt{2}m\)
Pole kwadratu liczysz tak, jak pole rombu (połowa iloczynu przekątnych).