forum.zadania.info

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb nieparzystych dzieli się przez 9.

Formalnie:
\[(2n-1)^3+(2n+1)^3+(2n+3)^3=\\\ldots\\=24n^3+36n^2+30n+27=\\=9\left(2n^3+4n^2+3n+3+{2n^3+10n\over3}\right)\]
Pozostaje, lematycznie, przez przypadki: \(n=3k,\ n=3k+1,\ n=3k-1\) wykazać, że
\[3\mid 2n(n^2+5)\]
co nie jest skomplikowane...

Na gadanego (z pogranicza kongruencji):
Wśród trzech kolejnych liczb nieparzystych jest jedna podzielna przez \(3\), druga podzielna przez \(3\) z resztą \(2\) i trzecia podzielna przez \(3\) z resztą \(1\) (niekoniecznie w tej kolejności). Ich trzecie potęgi dzielą się przez \(9\) z resztami \(0,\ 8\) i \(1\). Suma reszt jest równa \(9\), zatem...

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑09 mar 2024, 21:24 Formalnie:
\[(2n-1)^3+(2n+1)^3+(2n+3)^3=\\\ldots\\=24n^3+36n^2+30n+27=\\=9\left(2n^3+4n^2+3n+3+{2n^3+10n\over3}\right)\]
Pozostaje, lematycznie, przez przypadki: \(n=3k,\ n=3k+1,\ n=3k-1\) wykazać, że
\[3\mid 2n(n^2+5)\]
co nie jest skomplikowane...
Pozdrawiam

albo nie bawić się w przypadki i od razu napisać:
\( 24n^3+36n^2+30n+27 = 24(n^3 - n) + 36n^2 + 54n + 27\)
Wiemy co chcemy osiągnąć -> wystarczy tylko zmniejszyć potęgę.

Dowód indukcyjny:

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=100951