Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 9

[b00gaj_]

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 9
witam, zacząłem od (2n-1)^3 (2n+1)^3 (2n+3)^3
po przeliczeniu wyszedł wielomian: 24n^3+18n^2+66n+29 ale tutaj mam problem z udowodnieniem, że to dzieli się na 9. Pozdrawiam.

[Jerry]

Po linii najmniejszego oporu:
\[ (2n-1)^3 +(2n+1)^3 +(2n+3)^3=\\ =24 n^3 + 36 n^2 + 66 n + 27 =\\ =9(2n^3+4n^2+7n+3)+3n(2n^2+1)\]
Wystarczy lematycznie wykazać, że dla \(n\) niepodzielnego przez \(3\) mamy
\[3|(2n^2+1)\]
\(n=3k\pm1\So 2n^2+1=2(3k\pm1)^2+1=18k^2\pm12k+3=3(6k^2\pm4k+1)\) dla \(k\in\zz\)
co dowodzi prawdziwości lematu. Pozostaje skomentować podzielności sum...

Pozdrawiam

[janusz55]

Metoda indukcji zupełnej

\( T(n): \ \ 9|(2n-1)^3 + (2n+1)^3 +(2n+3)^3, \ \ \forall n\in \nn. \)

1 .
\( T(1) = (2\cdot 1-1)^3 +(2\cdot1 +1)^3 + (2\cdot 1+3)^3 = 1 + 27 +125 = 153= 9\cdot 17 \) (zdanie prawdziwe)

2.
\( T( k) \Rightarrow (T( k+1)\)

\( 9|(2k-1)^3 + (2k+1)^3 + (2k+3)^3 \Rightarrow 9|(2k+1)^3+ (2k+3)^3 + (2k +5)^3 \)

Załóżmy, że:

\( (2k-1)^3 + (2k+1)^3 + (2k+3)^3 = 9\cdot M, \ \ M\in \nn.\)

Wtedy

\( (2k+1)^3+ (2k+3)^3 + (2k +5)^3 = 9M - (2k-1)^3 + (2k+5)^3 = 9M - 8k^3+12k^2 - 6k +1 +8k^3+60k^2 +150k +125 =\)
\( 9M+72k^2+144k +126 = 9\cdot (M + 8k^2 +15k +14) = 9\cdot N, \)

gdzie:

\( N = M + 8k^2 +15k +14 \in \nn.\)

Wykazaliśmy, że:

- zdanie \( T(1) \) jest prawdziwe,

- dla każdej liczby naturalnej \( k \) z prawdziwości zdania \( T(k) \) wynika prawdziwość zdania \( T(k+1). \)

Spełnione są założenia twierdzenia o indukcji zupełnej, zatem dla każdego \( n\in N \) zdanie \( T(n) \) jest prawdziwe.