forum.zadania.info

1. Rozwiąż równanie \(\sin4x-\sin2x=4\cos^2x-3\) w przedziale \(\langle0, 2π\rangle\).

2. Wyznacz najmniejsze wartości funkcji \(f(x)=12\sin(3x)+5\cos(3x)\) oraz \(\frac{1}{|12\sin(3x)+5\cos(3x)|}\)

jasminka pisze: ↑10 lis 2023, 23:05 1. Rozwiąż równanie \(sin4x-sin2x=4cos^2x-3\) w przedziale \(<0, 2π>\).

\[\sin4x-\sin2x=4\cos^2x-3\\
2\sin2x\cos2x-\sin2x=2(\cos2x+1)-3\]
Jeżeli \(\cos x=0\), to równanie nie jest spełnione, zatem niech
\[\begin{cases}\cos2x=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\\\sin2x=\cfrac{2t}{1+t^2}\end{cases}\, \text{, gdzie }\begin{cases}t=\tg x\\t\in\rr\end{cases}.\]
Wtedy
\[2\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2}=2\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-1\\ \ldots\ \ldots\\ (t-1)^2(3t^2-1)=0\\
\tg =1\vee\tg x={\sqrt3\over3}\vee\tg x=-{\sqrt3\over3}\]
skąd blisko do odpowiedzi...

Pozdrawiam

jasminka pisze: ↑10 lis 2023, 23:05 2. Wyznacz najmniejsze wartości funkcji \(f(x)=12sin(3x)+5cos(3x)\)

\[y=f(x)=12\sin3x+5\cos3x=13\cdot\left({12\over13}\sin3x+{5\over13}\cos3x\right)\]
Istnieje kąt \(\alpha\in\left(0;{\pi\over2}\right)\) taki, że \(\begin{cases}\cos\alpha={12\over13}\\\sin\alpha={5\over13}\end{cases}\), zatem
\[y=f(x)=13\sin(3x+\alpha)\wedge x\in\rr\]
czyli
\[-13\le f(x)\le13\]
Pozdrawiam
PS. Z powyższego wynika zbiór wartości drugiej z funkji: \(\left[{1\over13};+\infty\right)\)

Jeśli funkcja \( f \) określona jest wzorem \( f(x) = A \sin(mx) + B\sin(nx) \), to jej najmniejsza wartość \( f_{min} = -\sqrt{A^2+B^2},\) a wartość największa \( f_{maks} = \sqrt{A^2+B^2}.\)

\( f_{min} = -\sqrt{13^2 + 5^2} = -\sqrt{169} = -13.\)

\( f_{maks} = \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13.\)

janusz55 pisze: ↑11 lis 2023, 11:07 Jeśli funkcja \( f \) określona jest wzorem \( f(x) = A \sin(mx) + B\sin(nx) \), to jej najmniejsza wartość \( f_{min} = -\sqrt{A^2+B^2},\) a wartość największa \( f_{maks} = \sqrt{A^2+B^2}.\)

Dla funkcji \(y=f(x)=3\sin3x+4\sin2x\) określonej w \(D=\rr\) mamy:
\[y_\max\approx6,659\ne5=\sqrt{3^2+4^2}\\y_\min\approx-6,659\ne-5=-\sqrt{3^2+4^2}\]
Miłego dnia

Słyszałam, że prędzej złodziej się przyzna, że ukradł niż nauczyciel, że się pomylił

janusz55 pisze: ↑11 lis 2023, 15:35 \( A = 12, \ \ B=5 \ \ m=n =3. \)

Skoro mam podany wzór ogólny, mogę z niego skorzystać dla dowolnych, dobrze określonych, wartości zmiennych!
Czyli, w szczególności dla \(\begin{cases}A=3\\B=4\\m=3\\n=2\end{cases}\).
I wnioskuję, że wzór jest [autocenzura] wart!

anilewe_MM pisze: ↑11 lis 2023, 19:13 ... prędzej złodziej się przyzna, że ukradł niż nauczyciel, że się pomylił.

Nikt nie jest doskonały, nie mylą się tylko ci, którzy nic nie robią! Osobiście uważam, że przyznanie się do błędu buduje autorytet człowieka (w tym - nauczyciela) ... Trwanie w błędzie nic dobrego nie przynosi, ani nauczycielowi ani jego uczniom!

Pozdrawiam
PS. A dyskusyjne posty usera nic dobrego nie przyniosą dla naszemu forum!