1. Rozwiąż równanie \(\sin4x-\sin2x=4\cos^2x-3\) w przedziale \(\langle0, 2π\rangle\).
2. Wyznacz najmniejsze wartości funkcji \(f(x)=12\sin(3x)+5\cos(3x)\) oraz \(\frac{1}{|12\sin(3x)+5\cos(3x)|}\)
Funkcja trygonometryczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: Funkcja trygonometryczna
\[\sin4x-\sin2x=4\cos^2x-3\\
2\sin2x\cos2x-\sin2x=2(\cos2x+1)-3\]
Jeżeli \(\cos x=0\), to równanie nie jest spełnione, zatem niech
\[\begin{cases}\cos2x=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\\\sin2x=\cfrac{2t}{1+t^2}\end{cases}\, \text{, gdzie }\begin{cases}t=\tg x\\t\in\rr\end{cases}.\]
Wtedy
\[2\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2}=2\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-1\\ \ldots\ \ldots\\ (t-1)^2(3t^2-1)=0\\
\tg =1\vee\tg x={\sqrt3\over3}\vee\tg x=-{\sqrt3\over3}\]
skąd blisko do odpowiedzi...
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: Funkcja trygonometryczna
\[y=f(x)=12\sin3x+5\cos3x=13\cdot\left({12\over13}\sin3x+{5\over13}\cos3x\right)\]
Istnieje kąt \(\alpha\in\left(0;{\pi\over2}\right)\) taki, że \(\begin{cases}\cos\alpha={12\over13}\\\sin\alpha={5\over13}\end{cases}\), zatem
\[y=f(x)=13\sin(3x+\alpha)\wedge x\in\rr\]
czyli
\[-13\le f(x)\le13\]
Pozdrawiam
PS. Z powyższego wynika zbiór wartości drugiej z funkji: \(\left[{1\over13};+\infty\right)\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1819
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 453 razy
Re: Funkcja trygonometryczna
Jeśli funkcja \( f \) określona jest wzorem \( f(x) = A \sin(mx) + B\sin(nx) \), to jej najmniejsza wartość \( f_{min} = -\sqrt{A^2+B^2},\) a wartość największa \( f_{maks} = \sqrt{A^2+B^2}.\)
\( f_{min} = -\sqrt{13^2 + 5^2} = -\sqrt{169} = -13.\)
\( f_{maks} = \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13.\)
\( f_{min} = -\sqrt{13^2 + 5^2} = -\sqrt{169} = -13.\)
\( f_{maks} = \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13.\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: Funkcja trygonometryczna
![Shocked :shock:](./images/smilies/icon_eek.gif)
Dla funkcji \(y=f(x)=3\sin3x+4\sin2x\) określonej w \(D=\rr\) mamy:
\[y_\max\approx6,659\ne5=\sqrt{3^2+4^2}\\y_\min\approx-6,659\ne-5=-\sqrt{3^2+4^2}\]
Miłego dnia
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 142
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 603 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Funkcja trygonometryczna
Słyszałam, że prędzej złodziej się przyzna, że ukradł niż nauczyciel, że się pomylił ![Mr. Green :mrgreen:](./images/smilies/icon_mrgreen.gif)
![Mr. Green :mrgreen:](./images/smilies/icon_mrgreen.gif)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: Funkcja trygonometryczna
Skoro mam podany wzór ogólny, mogę z niego skorzystać dla dowolnych, dobrze określonych, wartości zmiennych!
Czyli, w szczególności dla \(\begin{cases}A=3\\B=4\\m=3\\n=2\end{cases}\).
I wnioskuję, że wzór jest [autocenzura] wart!
Nikt nie jest doskonały, nie mylą się tylko ci, którzy nic nie robią! Osobiście uważam, że przyznanie się do błędu buduje autorytet człowieka (w tym - nauczyciela) ... Trwanie w błędzie nic dobrego nie przynosi, ani nauczycielowi ani jego uczniom!anilewe_MM pisze: ↑11 lis 2023, 19:13 ... prędzej złodziej się przyzna, że ukradł niż nauczyciel, że się pomylił.
Pozdrawiam
PS. A dyskusyjne posty usera nic dobrego nie przyniosą dla naszemu forum!