forum.zadania.info

Oblicz \(\Lim_{n\to \infty } ( \frac{n^2 - 2}{n^2 }) ^{5n^2 +1} \frac{5n^3 - 4n^2 }{3 n^3 + 4n^2} \)

enta pisze: ↑25 kwie 2023, 21:37 Oblicz \(\Lim_{n\to \infty } ( \frac{n^2 - 2}{n^2 }) ^{5n^2 +1} \frac{5n^3 - 4n^2 }{3 n^3 + 4n^2} \)

Nie do końca rozumiem zapis... zatem:
\(\Limn\left( \frac{n^2 - 2}{n^2 }\right) ^{5n^2 +1} =\Limn\left[\left( 1+\dfrac{1}{{n^2\over-2} }\right)^{n^2\over-2}\right] ^\frac{-10n^2 -\color{red}{2}}{n^2}=e^{-10} \)

\(\Limn\frac{5n^3 - 4n^2 }{3 n^3 + 4n^2}={5\over3}\)

Pozdrawiam

[edited] poprawka po poniższym

\(\Limn\left( \frac{n^2 - 2}{n^2 }\right) ^{5n^2 +1} =\Limn\left[\left( 1+\dfrac{1}{{n^2\over-2} }\right)^{n^2\over-2}\right] ^\frac{-10n^2 -5}
{n^2}=e^{-10} \)

A dlaczego wyrażenia w nawiasach są podniesione do potęg, które nie dają wyrażenia początkowego tzn. \(\frac{n^2}{-2} \cdot \frac{-10n^2 -5}{n^2} \neq 5n^2+1\)?

Bo trafił mi się bad-klick Powinna być dwójka zamiast piątki... co nie zmieniło wartości granicznej!

Pozdrawiam
PS. Poprawiłem

\( \lim_{n\to \infty} \left( \frac{n^2-2}{n^2}\right)^{5n^2+1} = \lim_{n\to \infty}\left(1 -\frac{2}{n^2}\right)^{5n^2+1} = \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{-n^2}{2}}\right)^{5n^2} \cdot \lim_{n\to \infty}\left(1 +\frac{1}{\frac{-n^2}{2}}\right)^{1} = \)
\( = \lim_{n\to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{\frac{-n^2}{2}}\right)^{\frac{-n^2}{2}}\right]^{-10} \cdot1 = e^{-10}.\)