rozwiąż równanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 141
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 594 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: rozwiąż równanie
Ponieważ \(\sin3x=\sin(2x+x)=\ldots\), to dane równanie można przekształcić do postaci
\[\sin2x\cos x-\cos2x\sin x+\sin2x=1\\
\sin(2x-x)+\sin 2x=1\\
\sin x+2\sin x\cos x=1\]
Dla \(\cos{x\over2}=0\) równanie jest sprzeczne, dla pozostałych mamy:
\[{2t\over1+t^2}+2\cdot{2t\over1+t^2}\cdot{1-t^2\over1+t^2}=1\]
gdzie \(t=\tg{x\over2}\). Po przekształceniach
\[t^4+2t^3+2t^2-6t+1=0\\
t=1\qquad\vee\qquad t^3+3t^2+5t-1=0\]
Drugie z tych równań ma jeden niewymierny pierwiastek \(t_0\in\left(0,18;\ 0,19\right)\). Zatem
\[(x={\pi\over2}+k\cdot2\pi\vee x=2\arctg t_0+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\]
Pozdrawiam
PS. To równanie jest licealnie ... oryginalne? Jeśli tak, to skąd?
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 141
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 594 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 1626
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: rozwiąż równanie
\( \sin(3x)-2\sin (x)\cos(2x)+\sin(2x) =1, \ \ x\in \rr. \)
Przekształcamy równanie do postaci sumy i iloczynu sinusa i kosinusa pojedynczego argumentu.
\( \sin(x+2x)- 2\sin(x)[\cos^2(x) - \sin^2(x)] + 2\sin(x)\cos(x) = 1.\)
\(\sin(x)\cos(2x) +\sin(2x)\cos(x) -2\sin(x)[\cos^2(x)-\sin^2(x)] +2\sin(x)\cos(x)= 1,\)
\(\sin(x)[\cos^2(x) -\sin^2(x)] +2\sin(x)\cos^2(x) -2\sin(x)[\cos^2(x) -\sin^2(x)] +2\sin(x)\cos(x) =1,\)
\( \sin(x)\cos^2(x) -\sin^3(x)+ 2\sin(x)\cos^2(x) -2\sin(x)\cos^2(x) +2\sin^3(x)+2\sin(x)|cos(x)=1,\)
\(\sin^3(x)+ \sin(x)\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x) = 1,\)
\(\sin(x)[sin^2(x)+\cos^2(x)] + 2\sin(x)\cos(x) = 1.\)
\( \sin(x) +2\sin(x)\cos(x) = 1 \ \ (*) \)
Równanie \( (*) \) sprowadzamy do równania z sinusem.
\( \sin(x) + 2\sin(x) \left( \pm\sqrt{1 -\sin^2(x)}\right) = 1,\)
\(2\sin(x)\left(\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}\right) = 1 -\sin(x) \ \ (**) \)
Podnosimy obie strony równania \( (**) \) do drugiej potęgi
\( 4\sin^2(x)[1- \sin^2(x)] =[1+\sin(x)]^2, \)
\( 4\sin^2(x)- 4\sin^4(x) = 1 -2\sin(x) + \sin^2(x), \)
\( 4\sin^4(x) -3\sin^2(x) -2\sin(x) +1 = 0 \)
\( \sin(x) \equiv t, \ \ t\in[-1, \ \ 1].\)
\( 4t^4-3t^2 -2t +1 = 0 \ \ (***) \)
Można zauważyć, że \( t_{1} = 1.\)
Dzieląc wielomian \( (***) \) przez \( t-1 \) otrzymujemy rozkład
\( 4t^4-3t^2 -2t +1 = (t-1)(4t^3 +4t^2 +t -1). \)
Wielomian \( 4t^3 +4t^2 +t -1 \) ma jeden pierwiastek niewymierny w zbiorze liczb rzeczywistych
\( t_{2}\approx 0,3478. \)
Wracamy do podstawienia
\( \sin(x) = 1, \)
\( x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi, \ \ k\in \zz.\)
Sprawdzenie
\( \sin\left[\frac{3}{2}\pi + 6k\pi \right]- 2\sin\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right]\cdot \left[\cos(\pi) + 4k \pi \right] + \sin(\pi + 4k\pi) = 1.\)
\( -1 -2\cdot 1\cdot (-1) + 0 = 1,\)
\( -1+ 2 + 0 = 1,\)
\( 1 =1.\)
\( \sin(x) \approx 0,3478, \)
\( x \approx 21^{0} + 2k\pi. \)
Nie sprawdzamy tego przybliżonego wyniku.
Przekształcamy równanie do postaci sumy i iloczynu sinusa i kosinusa pojedynczego argumentu.
\( \sin(x+2x)- 2\sin(x)[\cos^2(x) - \sin^2(x)] + 2\sin(x)\cos(x) = 1.\)
\(\sin(x)\cos(2x) +\sin(2x)\cos(x) -2\sin(x)[\cos^2(x)-\sin^2(x)] +2\sin(x)\cos(x)= 1,\)
\(\sin(x)[\cos^2(x) -\sin^2(x)] +2\sin(x)\cos^2(x) -2\sin(x)[\cos^2(x) -\sin^2(x)] +2\sin(x)\cos(x) =1,\)
\( \sin(x)\cos^2(x) -\sin^3(x)+ 2\sin(x)\cos^2(x) -2\sin(x)\cos^2(x) +2\sin^3(x)+2\sin(x)|cos(x)=1,\)
\(\sin^3(x)+ \sin(x)\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x) = 1,\)
\(\sin(x)[sin^2(x)+\cos^2(x)] + 2\sin(x)\cos(x) = 1.\)
\( \sin(x) +2\sin(x)\cos(x) = 1 \ \ (*) \)
Równanie \( (*) \) sprowadzamy do równania z sinusem.
\( \sin(x) + 2\sin(x) \left( \pm\sqrt{1 -\sin^2(x)}\right) = 1,\)
\(2\sin(x)\left(\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}\right) = 1 -\sin(x) \ \ (**) \)
Podnosimy obie strony równania \( (**) \) do drugiej potęgi
\( 4\sin^2(x)[1- \sin^2(x)] =[1+\sin(x)]^2, \)
\( 4\sin^2(x)- 4\sin^4(x) = 1 -2\sin(x) + \sin^2(x), \)
\( 4\sin^4(x) -3\sin^2(x) -2\sin(x) +1 = 0 \)
\( \sin(x) \equiv t, \ \ t\in[-1, \ \ 1].\)
\( 4t^4-3t^2 -2t +1 = 0 \ \ (***) \)
Można zauważyć, że \( t_{1} = 1.\)
Dzieląc wielomian \( (***) \) przez \( t-1 \) otrzymujemy rozkład
\( 4t^4-3t^2 -2t +1 = (t-1)(4t^3 +4t^2 +t -1). \)
Wielomian \( 4t^3 +4t^2 +t -1 \) ma jeden pierwiastek niewymierny w zbiorze liczb rzeczywistych
\( t_{2}\approx 0,3478. \)
Wracamy do podstawienia
\( \sin(x) = 1, \)
\( x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi, \ \ k\in \zz.\)
Sprawdzenie
\( \sin\left[\frac{3}{2}\pi + 6k\pi \right]- 2\sin\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right]\cdot \left[\cos(\pi) + 4k \pi \right] + \sin(\pi + 4k\pi) = 1.\)
\( -1 -2\cdot 1\cdot (-1) + 0 = 1,\)
\( -1+ 2 + 0 = 1,\)
\( 1 =1.\)
\( \sin(x) \approx 0,3478, \)
\( x \approx 21^{0} + 2k\pi. \)
Nie sprawdzamy tego przybliżonego wyniku.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 141
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 594 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: rozwiąż równanie
Ale beka, źle przepisałam z tablicy .
Zamiast sin 2x powinno być cos 2x i po podpowiedzi @Jerry rozwiązanie jest natychmiastowe
Zamiast sin 2x powinno być cos 2x i po podpowiedzi @Jerry rozwiązanie jest natychmiastowe