Wyznaczanie równania stycznej do wykresu funkcji danej w postaci jawnego wzoru

[janusz55]

Na forum pojawiło się zadanie następującej treści:
proszę wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji \( f(x) = x^3 -3x^2 +x, \) która jest
-prostopadła do prostej o równaniu \( x-2y -6 = 0 \)
- równoległa do tej prostej.

Rozwiązanie

Równanie stycznej w punkcie \( p\) (funkcja \( f(x) \) jako wielomian jest ciągła w punkcie \( (p, f(p) )\) i jej pochodna w tym punkcie jest skończona):

\( y = f'(p)(x-p) +f(p) \)

Z równania tego wynika, że aby napisać równanie stycznej do wykresu funkcji \( f(x) \) w punkcie \( (p, f(p)\) musimy znać odciętą tego punktu \( p \) i współczynnik kierunkowy stycznej \( f'(p). \)

Obliczamy pierwszą pochodną funkcji \( f(x) \)

\( f'(x) = 3x^2 -6x +1 \)

Prosta o równaniu \( x -2y - 6 , \ \ 2y = x-6 \ \ y = \frac{1}{2}x -3 \) ma współczynnik kierunkowy \( a = \frac{1}{2}.\)

Prosta do niej prostopadła ma współczynnik kierunkowy \( m = -\frac{1}{a} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2.\)

Prosta do niej równoległa ma współczynnik kierunkowy \( a =\frac{1}{2} \) (taki sam jak dana prosta).

Wyznaczamy odciętą punktu \( p \) dla stycznej prostopadłej do prostej \( y = \frac{1}{2}x -3 \ \ (*) \)

\( f'(x) = -2, \)

Stąd

\( 3x^2 -6x +1 = -2, \ \ 3x^2 -6x +3 = 0, \ \ 3(x^2-2x+1) = 0, \ \ 3(x-1)^2 = 0, \ \ x-1 = 0, \ \ p =1. \)

Współrzędne punktu styczności:

\( (p, f(p)) = (1, \ \ 1^3 -3\cdot 1^2+1) = (1, -1).\)

Współczynnik kierunkowy stycznej

\( f'(1) = 3\cdot 1^2 - 6\cdot 1 +1 = -2.\)

Równanie stycznej - prostopadłej do prostej \( (*) \)

\( y = -2\cdot (x-1) -1 = -2x +2 -1 = -2x +1.\)

Równanie stycznej równoległej do danej prostej wyznaczamy w identyczny sposób, znajdując odciętą \( p \) punktu styczności z równania:

\( f'(x) = \frac{1}{2}.\)