W pudełku znajdują się rozróżnialne kule: 3 białe 4 czerwone i 5 niebieskich. Wybierzmy losowo 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) każda kula w innym kolorze
b) w jednym kolorze
Prawdopodobieństwo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jerzyjerzowski55
- Stały bywalec
- Posty: 392
- Rejestracja: 07 lut 2012, 18:47
- Podziękowania: 175 razy
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Jest 12 kul,losujesz 3.
\(|\Omega|= { 12\choose 3}= \frac{12!}{3!\cdot 9!}= \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{2 \cdot 3}=220\)
a)
\(P(A)= \frac{ {3 \choose 1}\cdot {4 \choose1 }\cdot { 5\choose1 } }{ {12 \choose 3} }= \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{220}= \frac{3}{11}\)
b)
\(P(B)= \frac{ { 3\choose3}+ { 4\choose 3}+ {5 \choose 3} }{220}= \frac{1+4+10}{220}= \frac{15}{220}=\frac{3}{44}\)
\(|\Omega|= { 12\choose 3}= \frac{12!}{3!\cdot 9!}= \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{2 \cdot 3}=220\)
a)
\(P(A)= \frac{ {3 \choose 1}\cdot {4 \choose1 }\cdot { 5\choose1 } }{ {12 \choose 3} }= \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{220}= \frac{3}{11}\)
b)
\(P(B)= \frac{ { 3\choose3}+ { 4\choose 3}+ {5 \choose 3} }{220}= \frac{1+4+10}{220}= \frac{15}{220}=\frac{3}{44}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
jerzyjerzowski55
- Stały bywalec
- Posty: 392
- Rejestracja: 07 lut 2012, 18:47
- Podziękowania: 175 razy
-
CallMeKubus
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 12 kwie 2023, 13:31
- Płeć:
Re: Wytłumaczenie
Mam pytanie odnośnie tego zadania, mógłbym dostać szczegółowe wytłumaczenie skąd biorą się te wszystkie działania i liczby? To dla mnie bardzo ważne i pilne
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1638
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: Prawdopodobieństwo
Doświadczenie losowe polega na losowaniu trzech kul pojemnika, w którym znajdują się: trzy kule białe, 4 czerwone i pięć kul niebieskich.
Teraz musimy się zastanowić czy losujemy kule jednocześnie czy kolejno jedna po drugiej.
Model jednoczesnego losowania trzech kul.
Oznaczenia kul:
\( b \)- dowolna kula biała
\( c \)- dowolna kula czerwona
\( n \)- dowolna kula niebieska.
\( {b_1}, b_{2}, b_{3}\) - kule biała
\( c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4} \) - kule czerwone
\( n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}, n_{5} \) - kule niebieskie
Mieszamy kule w pojemniku i wyciągamy jednocześnie trzy kule.
Zakładamy, że żadna kula nie przykleiła się do pojemnika i ma taką samą możliwość być wyciągniętą
Stosujemy więc klasyczną definicję prawdopodobieństwa, którą sformułował precyzyjnie po raz pierwszy francuski matematyk Pierre Laplace w roku 1812.
Jakie są możliwe wyniki tego zdarzenia ?
Wszystkimi możliwymi wynikami tego zdarzenia są wszystkie podzbiory \( 3 - \) elementowe ze zbioru [latex] 12 -[/tex] elementowego co zapisujemy:
\( \Omega = \{\omega = \{ b, c, n \}: b, c, n \in \{ b_1, b_{2}, b_{3},c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4},n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}, n_{5}\}\}\)
Wszystkich kul mamy \( 12= 3 + 4 +5 \) kolejność losowania jest nieistotna (wyciągamy kule jednocześnie) więc liczność zbioru \(\Omega \) obliczamy za pomocą ilości wszystkich kombinacji bez powtórzeń ze zbioru \( 12 \) elementowego po \( 3 \) elementy, co zapisujemy
\( |\Omega| = C^3_{12} = {12\choose 3} = \frac{12\cdot 11\cdot 10}{ 1\cdot 2\cdot 3} = 220 \)
Przechodzimy do interesujących nas zdarzeń,
\( A \) - "wylosowanie każdej kuli w innym kolorze".
\( A = \{\omega = (b, c, n): b \in\{ b_{1},b_{2},b_{3}\} \cap c \in \{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\} \cap n \in \{n_{1}, n_{2}, n_{3},n_{4}, n_{5}\}\}\)
Liczność zbioru \( A \) jest iloczynem trzech kombinacji: jedna kula z kul białych i jedna kula z kul czerwonych i jedna kula z kul nebieskich.
\(|A| = {3\choose 1}\cdot {4\choose 1} \cdot { 5 \choose 1} = 3 \cdot 4 +\cdot 5 = 60 \)
Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \)
\( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11} \approx 0,27\)
Zdarzenie \( B \) - wylosowanie każdej kuli w jednym kolorze
\( B = \{\omega = \{b,c,n \}: b \in\{ b_{1},b_{2},b_{3}\} \cup c \in \{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\} \cup n \in \{n_{1}, n_{2}, n_{3},n_{4}, n_{5}\}\}\)
Liczność zbioru \( B \) jest sumą trzech kombinacji: trzy kule białe z trzech kul białych lub trzy kule czerwone z czerech kul czerwonych lub trzy kule niebieskie z pięciu kul niebieskich.
\( |B|= {3\choose 3} + {4\choose 3} + {5\choose3} = \frac{3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{4\cdot 3 \cdot 2}{1\cdot 2 \cdot 3}+ \frac{5\cdot 4 \cdot 3}{1\cdot 2 \cdot 3} = 1 + 4 + 10 = 15. \)
Prawdopodobieństwo zdarzenia \( B \)
\( P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{15}{220} = \frac{3}{44} \approx 0,07. \)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw:
Realizując doświadczenia losowe możemy oczekiwać, że w około \( 27\% \) ogólnej liczbie jego wyników wylosujemy, każdą kulę innego koloru i w około \( 7\% \) wszystkich wyników losowań - trzy kule jednego koloru.
Model kolejnego losowań kul.
Teraz musimy się zastanowić czy losujemy kule jednocześnie czy kolejno jedna po drugiej.
Model jednoczesnego losowania trzech kul.
Oznaczenia kul:
\( b \)- dowolna kula biała
\( c \)- dowolna kula czerwona
\( n \)- dowolna kula niebieska.
\( {b_1}, b_{2}, b_{3}\) - kule biała
\( c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4} \) - kule czerwone
\( n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}, n_{5} \) - kule niebieskie
Mieszamy kule w pojemniku i wyciągamy jednocześnie trzy kule.
Zakładamy, że żadna kula nie przykleiła się do pojemnika i ma taką samą możliwość być wyciągniętą
Stosujemy więc klasyczną definicję prawdopodobieństwa, którą sformułował precyzyjnie po raz pierwszy francuski matematyk Pierre Laplace w roku 1812.
Jakie są możliwe wyniki tego zdarzenia ?
Wszystkimi możliwymi wynikami tego zdarzenia są wszystkie podzbiory \( 3 - \) elementowe ze zbioru [latex] 12 -[/tex] elementowego co zapisujemy:
\( \Omega = \{\omega = \{ b, c, n \}: b, c, n \in \{ b_1, b_{2}, b_{3},c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4},n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}, n_{5}\}\}\)
Wszystkich kul mamy \( 12= 3 + 4 +5 \) kolejność losowania jest nieistotna (wyciągamy kule jednocześnie) więc liczność zbioru \(\Omega \) obliczamy za pomocą ilości wszystkich kombinacji bez powtórzeń ze zbioru \( 12 \) elementowego po \( 3 \) elementy, co zapisujemy
\( |\Omega| = C^3_{12} = {12\choose 3} = \frac{12\cdot 11\cdot 10}{ 1\cdot 2\cdot 3} = 220 \)
Przechodzimy do interesujących nas zdarzeń,
\( A \) - "wylosowanie każdej kuli w innym kolorze".
\( A = \{\omega = (b, c, n): b \in\{ b_{1},b_{2},b_{3}\} \cap c \in \{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\} \cap n \in \{n_{1}, n_{2}, n_{3},n_{4}, n_{5}\}\}\)
Liczność zbioru \( A \) jest iloczynem trzech kombinacji: jedna kula z kul białych i jedna kula z kul czerwonych i jedna kula z kul nebieskich.
\(|A| = {3\choose 1}\cdot {4\choose 1} \cdot { 5 \choose 1} = 3 \cdot 4 +\cdot 5 = 60 \)
Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \)
\( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11} \approx 0,27\)
Zdarzenie \( B \) - wylosowanie każdej kuli w jednym kolorze
\( B = \{\omega = \{b,c,n \}: b \in\{ b_{1},b_{2},b_{3}\} \cup c \in \{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\} \cup n \in \{n_{1}, n_{2}, n_{3},n_{4}, n_{5}\}\}\)
Liczność zbioru \( B \) jest sumą trzech kombinacji: trzy kule białe z trzech kul białych lub trzy kule czerwone z czerech kul czerwonych lub trzy kule niebieskie z pięciu kul niebieskich.
\( |B|= {3\choose 3} + {4\choose 3} + {5\choose3} = \frac{3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{4\cdot 3 \cdot 2}{1\cdot 2 \cdot 3}+ \frac{5\cdot 4 \cdot 3}{1\cdot 2 \cdot 3} = 1 + 4 + 10 = 15. \)
Prawdopodobieństwo zdarzenia \( B \)
\( P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{15}{220} = \frac{3}{44} \approx 0,07. \)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw:
Realizując doświadczenia losowe możemy oczekiwać, że w około \( 27\% \) ogólnej liczbie jego wyników wylosujemy, każdą kulę innego koloru i w około \( 7\% \) wszystkich wyników losowań - trzy kule jednego koloru.
Model kolejnego losowań kul.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1638
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: Prawdopodobieństwo
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym losowaniu kuli z pudełka, zawierającego trzy kule białe, cztery kule czerwone i pięć kul niebieskich.
Jest to doświadczenie trójetapowe.
Oznaczenie zdarzeń:
\( B_{1}, B_{2}, B_{3} \) -" wylosowanie kuli białej za pierwszym, drugim, trzecim razem."
\( C_{1}, C_{2}, C_{3} \) -" wylosowanie kuli czerwonej za pierwszym drugim , trzecim razem."
\( N_{1}, N_{2}, N_{3} \) -" wylosowanie kuli niebieskiej za pierwszym, drugim, trzecim razem."
Wylosowanie każdej kuli w każdym etapie jest jednakowo możliwe.
Etap pierwszy - losowanie pierwszej kuli
\( \Omega_{1} = \{ B_{1}, C_{1}, N_{1} \} \)
\( P(B_{1}) = \frac{3}{12}, \ \ P(B_{2}) = \frac{4}{12}, \ \ P(N_{1}) = \frac{5}{12}. \)
Etap drugi - losowanie drugiej kuli
\( \Omega_{2} = \{(B_{1},B_{2}), (B_{1}, C_{2}), (B_{1}, N_{2}), (C_{1},B_{2}), (C_{1}, C_{2}), (C_{1}, N_{2}), (N_{1},B_{2}), (N_{1},C_{2}), (N_{1}, N_{2})\} \)
Na podstawie prawdopodobieństwa warunkowego:
\( P(B_{1},B_{2}) = P(B_{1})\cdot P(B_{2}|B_{1}) = \frac{3}{12}\cdot \frac{2}{11} = \frac{6}{132}.\)
\( P(B_{1},C_{2}) = P(B_{1})\cdot P(C_{2}|B_{1}) = \frac{3}{12}\cdot \frac{4}{11} = \frac{12}{132}.\)
\( P(B_{1},N_{2}) = P(B_{1})\cdot P(N_{2}|B_{1}) = \frac{3}{12}\cdot \frac{5}{11} = \frac{15}{132}.\)
\( P(C_{1}, B_{2}) = P(C_{1})\cdot P(B_{2}|C_{1}) = \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11} = \frac{12}{132}.\)
\( P(C_{1},C_{2}) = P(C_{1})\cdot P(C_{2}|C_{1}) = \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11} = \frac{12}{132}. \)
\( P(C_{1},N_{2}) = P(C_{1})\cdot P(N_{2}|C_{1}) = \frac{4}{12}\cdot \frac{5}{11} =\frac{20}{132}.\)
\( P(N_{1},B_{2}) = P(N_{1})\cdot P(B_{2}|N_{1}) = \frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11} = \frac{15}{132}.\)
\(P(N_{1},C_{2}) = P(N_{1})\cdot P(C_{2}|N_{1}) = \frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}= \frac{20}{132}.\)
\( P(N_{1},N_{2}) = P(N_{1})\cdot P(N_{2}|N_{1}) = \frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11} = \frac{20}{132}.\)
Etap trzeci - losowanie trzeciej kuli
\( \Omega_{3} = \{(B_{1}, B_{2}, B_{3}), (B_{1}, B_{2},C_{3}), (B_{1}, B_{2}, N_{3}), (B_{1},C_{2}, B_{3}), (B_{1},C_{2},C_{3})(B_{1},C_{2}, N_{3}) ,(B_{1},N_{2},B_{3}), (B_{1},N_{2},C_{3}), \)
\((B_{1}, N_{2}, N_{3}), (C_{1}, B_{2}, B_{3}), (C_{1},B_{2},C_{3}),
(C_{1}, B_{2}, N_{3}), (C_{1},C_{2},B_{3}),\)
\((C_{1},C_{2},C_{3}) ( C_{1},C_{2}, N_{3}), ( C_{1},N_{2},B_{3}),(C_{1},N_{2},C_{3}),(C_{1},N_{2},N_{3}),(N_{1},B_{2},B_{3}), (N_{1},B_{2},C_{3}), (N_{1},B_{2},N_{3}), \)
\( (N_{1},C_{2},B_{3}), (N_{1},C_{2}, C_{3}),(N_{1},C_{2},N_{3}), (N_{1},N_{2},B_{3}),(N_{1},N_{2},C_{3}),(N_{1},N_{2},N_{3})\}\)
Z reguły łańcuchowej:
\( P(B_{1},B_{2},B_{3}) = P(B_{1}, B_{2})\cdot P(B_{3}|(B_{1},B_{2})) = \frac{6}{132}\cdot \frac{1}{10}= \frac{6}{1320}.\)
\( P(B_{1},B_{2},C_{3}) = P(B_{1}, B_{2})\cdot P(C_{3}|(B_{1},B_{2})) = \frac{6}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{24}{1320}.\)
\( P(B_{1},B_{2},N_{3}) = P(B_{1}, B_{2})\cdot P(N_{3}|(B_{1},B_{2})) = \frac{6}{132}\cdot \frac{5}{10}= \frac{30}{1320}.\)
\( P(B_{1},C_{2},B_{3}) = P(B_{1}, C_{2})\cdot P(B_{3}|(B_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{2}{10}= \frac{24}{1320}.\)
\( P(B_{1},C_{2},C_{3}) = P(B_{1}, C_{2})\cdot P(C_{3}|(B_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{3}{10}= \frac{36}{1320}.\)
\( P(B_{1},C_{2},N_{3}) = P(B_{1}, C_{2})\cdot P(N_{3}|(B_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{5}{10}= \frac{60}{1320}.\)
\( P(B_{1},N_{2},B_{3}) = P(B_{1},N_{2})\cdot P(B_{3}|(B_{1},N_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{2}{10} = \frac{30}{1320}.\)
\( P(B_{1},N_{2},C_{3}) = P(B_{1},N_{2})\cdot P(C_{3}|(B_{1},N_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(B_{1},N_{2},N_{3}) = P(B_{1},N_{2})\cdot P(N_{3}|(B_{1},N_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\(P(C_{1}, B_{2}, B_{3}) = P(C_{1}, B_{2})\cdot P(B_{3}|(C_{1},B_{2}))= \frac{12}{132}\cdot \frac{2}{10} = \frac{24}{1320}.\)
\(P(C_{1}, B_{2}, C_{3}) = P(C_{1}, B_{2})\cdot P(C_{3}|(C_{1},B_{2}))= \frac{12}{132}\cdot \frac{3}{10} = \frac{36}{1320}.\)
\(P(C_{1},B_{2}, N_{3}) = P(C_{1},B_{2})\cdot P(N_{3}|(C_{1},B_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{5}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(C_{1},C_{2},B_{3}) = P(C_{1},C_{2})\cdot P(B_{3}|(C_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{3}{10} =\frac{36}{1320}.\)
\( P(C_{1},C_{2},C_{3}) = P(C_{1},C_{2})\cdot P(C_{3}|(C_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{2}{10} =\frac{24}{1320}.\)
\( P(C_{1},C_{2},N_{3}) = P(C_{1},C_{2})\cdot P(N_{3}|(C_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{5}{10} =\frac{60}{1320}.\)
\( P(C_{1},N_{2}, B_{3}) = P(C_{1},N_{2})\cdot P(B_{3}|(C_{1},N_{2})) = \frac{20}{132}\cdot \frac{3}{10} =\frac{60}{1320}.\)
\( P(C_{1},N_{2},C_{3}) = P(C_{1},N_{2})\cdot P(C_{3}|(C_{1},N_{2})) = \frac{20}{132}\cdot \frac{3}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(C_{1},N_{2}, N_{3}) = P(C_{1},N_{2})\cdot P(N_{3}|(C_{1},N_{2})) = \frac{20}{132}\cdot \frac{4}{10} =\frac{80}{1320}.\)
\( P(N_{1},B_{2},B_{3}) = P(N_{1},B_{2})\cdot P(B_{3}|(N_{1}, B_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{2}{10} = \frac{30}{1320}.\)
\( P(N_{1},B_{2},C_{3}) = P(N_{1},B_{2})\cdot P(C_{3}|(N_{1}, B_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(N_{1},B_{2},N_{3}) = P(N_{1},B_{2})\cdot P(N_{3}|(N_{1}, B_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\(P(N_{1},C_{2},B_{3}) = P(N_{1},C_{2})\cdot P(B_{3}|(N_{1},C_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{3}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(N_{1},C_{2},C_{3}) = P(N_{1},C_{2})\cdot P(C_{3}|(N_{1},C_{2})) = \frac{20}{132}\cdot \frac{3}{10}= \frac{60}{1320}.\)
\(P(N_{1},C_{2},N_{3}) = P(N_{1},C_{2})\cdot P(N_{3}|(N_{1},C_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{4}{10} = \frac{80}{1320}.\)
\( P(N_{1},N_{2},B_{3}) = P(N_{1},N_{2})\cdot P(B_{3}|(N_{1},N_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{3}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(N_{1},N_{2},C_{3}) = P(N_{1},N_{2})\cdot P(C_{3}|(N_{1},N_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{4}{10} = \frac{80}{1320}.\)
\( P(N_{1},N_{2},N_{3}) = P(N_{1},N_{2})\cdot P(N_{3}|(N_{1},N_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{3}{10} = \frac{60}{1320}.\)
Mając rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \( \Omega_{3} \) możemy obliczyć, każde prawdopodobieństwo zdarzeń.
\( A \) - " wylosowanie kul, każdej w innym kolorze".
\( A = \{ (B_{1},C_{2},N_{3}), (B_{1}, N_{2}, C_{3}), (C_{1},B_{2},N_{3}), (C_{1},N_{2},B_{3}), (N_{1},B_{2},C_{3}), (N_{1},C_{2}, B_{3})\)
\( P(A) = P(B_{1},C_{2},N_{3}) + P(B_{1}, N_{2}, C_{3})+ P(C_{1},B_{2},N_{3})+ P(C_{1},N_{2},B_{3})+P(N_{1},B_{2},C_{3})+P(N_{1},C_{2}, B_{3}) \)
\( P(A) = \frac{60}{1320}+ \frac{60}{1320} + \frac{60}{1320} + \frac{60}{1320} + \frac{60}{1320}+ \frac{60}{1320} = \frac{360}{1320}= \frac{36}{132} = \frac{9}{33} = \frac{3}{11} \approx 0,27.\)
\( B\) - " wylosowanie kul tego samego koloru".
\( B =\{(B_{1}, B_{2}, B_{3}), (C_{1},C_{2},C_{3}), (N_{1},N_{2},N_{3})\}. \)
\( P(B) = P(B_{1}, B_{2}, B_{3}) + P (C_{1},C_{2},C_{3}) + P(N_{1},N_{2},N_{3}) = \frac{6}{1320}+ \frac{24}{1320} + \frac{60}{1320}= \frac{90}{1320} = \frac{9}{132} = \frac{3}{44} \approx 0,07.\)
Otrzymane wartości prawdopodobieństw interpretujemy tak, jak w modelu bezpośredniego losowania kul z pudełka.
Jest to doświadczenie trójetapowe.
Oznaczenie zdarzeń:
\( B_{1}, B_{2}, B_{3} \) -" wylosowanie kuli białej za pierwszym, drugim, trzecim razem."
\( C_{1}, C_{2}, C_{3} \) -" wylosowanie kuli czerwonej za pierwszym drugim , trzecim razem."
\( N_{1}, N_{2}, N_{3} \) -" wylosowanie kuli niebieskiej za pierwszym, drugim, trzecim razem."
Wylosowanie każdej kuli w każdym etapie jest jednakowo możliwe.
Etap pierwszy - losowanie pierwszej kuli
\( \Omega_{1} = \{ B_{1}, C_{1}, N_{1} \} \)
\( P(B_{1}) = \frac{3}{12}, \ \ P(B_{2}) = \frac{4}{12}, \ \ P(N_{1}) = \frac{5}{12}. \)
Etap drugi - losowanie drugiej kuli
\( \Omega_{2} = \{(B_{1},B_{2}), (B_{1}, C_{2}), (B_{1}, N_{2}), (C_{1},B_{2}), (C_{1}, C_{2}), (C_{1}, N_{2}), (N_{1},B_{2}), (N_{1},C_{2}), (N_{1}, N_{2})\} \)
Na podstawie prawdopodobieństwa warunkowego:
\( P(B_{1},B_{2}) = P(B_{1})\cdot P(B_{2}|B_{1}) = \frac{3}{12}\cdot \frac{2}{11} = \frac{6}{132}.\)
\( P(B_{1},C_{2}) = P(B_{1})\cdot P(C_{2}|B_{1}) = \frac{3}{12}\cdot \frac{4}{11} = \frac{12}{132}.\)
\( P(B_{1},N_{2}) = P(B_{1})\cdot P(N_{2}|B_{1}) = \frac{3}{12}\cdot \frac{5}{11} = \frac{15}{132}.\)
\( P(C_{1}, B_{2}) = P(C_{1})\cdot P(B_{2}|C_{1}) = \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11} = \frac{12}{132}.\)
\( P(C_{1},C_{2}) = P(C_{1})\cdot P(C_{2}|C_{1}) = \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11} = \frac{12}{132}. \)
\( P(C_{1},N_{2}) = P(C_{1})\cdot P(N_{2}|C_{1}) = \frac{4}{12}\cdot \frac{5}{11} =\frac{20}{132}.\)
\( P(N_{1},B_{2}) = P(N_{1})\cdot P(B_{2}|N_{1}) = \frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11} = \frac{15}{132}.\)
\(P(N_{1},C_{2}) = P(N_{1})\cdot P(C_{2}|N_{1}) = \frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}= \frac{20}{132}.\)
\( P(N_{1},N_{2}) = P(N_{1})\cdot P(N_{2}|N_{1}) = \frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11} = \frac{20}{132}.\)
Etap trzeci - losowanie trzeciej kuli
\( \Omega_{3} = \{(B_{1}, B_{2}, B_{3}), (B_{1}, B_{2},C_{3}), (B_{1}, B_{2}, N_{3}), (B_{1},C_{2}, B_{3}), (B_{1},C_{2},C_{3})(B_{1},C_{2}, N_{3}) ,(B_{1},N_{2},B_{3}), (B_{1},N_{2},C_{3}), \)
\((B_{1}, N_{2}, N_{3}), (C_{1}, B_{2}, B_{3}), (C_{1},B_{2},C_{3}),
(C_{1}, B_{2}, N_{3}), (C_{1},C_{2},B_{3}),\)
\((C_{1},C_{2},C_{3}) ( C_{1},C_{2}, N_{3}), ( C_{1},N_{2},B_{3}),(C_{1},N_{2},C_{3}),(C_{1},N_{2},N_{3}),(N_{1},B_{2},B_{3}), (N_{1},B_{2},C_{3}), (N_{1},B_{2},N_{3}), \)
\( (N_{1},C_{2},B_{3}), (N_{1},C_{2}, C_{3}),(N_{1},C_{2},N_{3}), (N_{1},N_{2},B_{3}),(N_{1},N_{2},C_{3}),(N_{1},N_{2},N_{3})\}\)
Z reguły łańcuchowej:
\( P(B_{1},B_{2},B_{3}) = P(B_{1}, B_{2})\cdot P(B_{3}|(B_{1},B_{2})) = \frac{6}{132}\cdot \frac{1}{10}= \frac{6}{1320}.\)
\( P(B_{1},B_{2},C_{3}) = P(B_{1}, B_{2})\cdot P(C_{3}|(B_{1},B_{2})) = \frac{6}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{24}{1320}.\)
\( P(B_{1},B_{2},N_{3}) = P(B_{1}, B_{2})\cdot P(N_{3}|(B_{1},B_{2})) = \frac{6}{132}\cdot \frac{5}{10}= \frac{30}{1320}.\)
\( P(B_{1},C_{2},B_{3}) = P(B_{1}, C_{2})\cdot P(B_{3}|(B_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{2}{10}= \frac{24}{1320}.\)
\( P(B_{1},C_{2},C_{3}) = P(B_{1}, C_{2})\cdot P(C_{3}|(B_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{3}{10}= \frac{36}{1320}.\)
\( P(B_{1},C_{2},N_{3}) = P(B_{1}, C_{2})\cdot P(N_{3}|(B_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{5}{10}= \frac{60}{1320}.\)
\( P(B_{1},N_{2},B_{3}) = P(B_{1},N_{2})\cdot P(B_{3}|(B_{1},N_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{2}{10} = \frac{30}{1320}.\)
\( P(B_{1},N_{2},C_{3}) = P(B_{1},N_{2})\cdot P(C_{3}|(B_{1},N_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(B_{1},N_{2},N_{3}) = P(B_{1},N_{2})\cdot P(N_{3}|(B_{1},N_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\(P(C_{1}, B_{2}, B_{3}) = P(C_{1}, B_{2})\cdot P(B_{3}|(C_{1},B_{2}))= \frac{12}{132}\cdot \frac{2}{10} = \frac{24}{1320}.\)
\(P(C_{1}, B_{2}, C_{3}) = P(C_{1}, B_{2})\cdot P(C_{3}|(C_{1},B_{2}))= \frac{12}{132}\cdot \frac{3}{10} = \frac{36}{1320}.\)
\(P(C_{1},B_{2}, N_{3}) = P(C_{1},B_{2})\cdot P(N_{3}|(C_{1},B_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{5}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(C_{1},C_{2},B_{3}) = P(C_{1},C_{2})\cdot P(B_{3}|(C_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{3}{10} =\frac{36}{1320}.\)
\( P(C_{1},C_{2},C_{3}) = P(C_{1},C_{2})\cdot P(C_{3}|(C_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{2}{10} =\frac{24}{1320}.\)
\( P(C_{1},C_{2},N_{3}) = P(C_{1},C_{2})\cdot P(N_{3}|(C_{1},C_{2})) = \frac{12}{132}\cdot \frac{5}{10} =\frac{60}{1320}.\)
\( P(C_{1},N_{2}, B_{3}) = P(C_{1},N_{2})\cdot P(B_{3}|(C_{1},N_{2})) = \frac{20}{132}\cdot \frac{3}{10} =\frac{60}{1320}.\)
\( P(C_{1},N_{2},C_{3}) = P(C_{1},N_{2})\cdot P(C_{3}|(C_{1},N_{2})) = \frac{20}{132}\cdot \frac{3}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(C_{1},N_{2}, N_{3}) = P(C_{1},N_{2})\cdot P(N_{3}|(C_{1},N_{2})) = \frac{20}{132}\cdot \frac{4}{10} =\frac{80}{1320}.\)
\( P(N_{1},B_{2},B_{3}) = P(N_{1},B_{2})\cdot P(B_{3}|(N_{1}, B_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{2}{10} = \frac{30}{1320}.\)
\( P(N_{1},B_{2},C_{3}) = P(N_{1},B_{2})\cdot P(C_{3}|(N_{1}, B_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(N_{1},B_{2},N_{3}) = P(N_{1},B_{2})\cdot P(N_{3}|(N_{1}, B_{2})) = \frac{15}{132}\cdot \frac{4}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\(P(N_{1},C_{2},B_{3}) = P(N_{1},C_{2})\cdot P(B_{3}|(N_{1},C_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{3}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(N_{1},C_{2},C_{3}) = P(N_{1},C_{2})\cdot P(C_{3}|(N_{1},C_{2})) = \frac{20}{132}\cdot \frac{3}{10}= \frac{60}{1320}.\)
\(P(N_{1},C_{2},N_{3}) = P(N_{1},C_{2})\cdot P(N_{3}|(N_{1},C_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{4}{10} = \frac{80}{1320}.\)
\( P(N_{1},N_{2},B_{3}) = P(N_{1},N_{2})\cdot P(B_{3}|(N_{1},N_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{3}{10} = \frac{60}{1320}.\)
\( P(N_{1},N_{2},C_{3}) = P(N_{1},N_{2})\cdot P(C_{3}|(N_{1},N_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{4}{10} = \frac{80}{1320}.\)
\( P(N_{1},N_{2},N_{3}) = P(N_{1},N_{2})\cdot P(N_{3}|(N_{1},N_{2})) = \frac{20}{132} \cdot \frac{3}{10} = \frac{60}{1320}.\)
Mając rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \( \Omega_{3} \) możemy obliczyć, każde prawdopodobieństwo zdarzeń.
\( A \) - " wylosowanie kul, każdej w innym kolorze".
\( A = \{ (B_{1},C_{2},N_{3}), (B_{1}, N_{2}, C_{3}), (C_{1},B_{2},N_{3}), (C_{1},N_{2},B_{3}), (N_{1},B_{2},C_{3}), (N_{1},C_{2}, B_{3})\)
\( P(A) = P(B_{1},C_{2},N_{3}) + P(B_{1}, N_{2}, C_{3})+ P(C_{1},B_{2},N_{3})+ P(C_{1},N_{2},B_{3})+P(N_{1},B_{2},C_{3})+P(N_{1},C_{2}, B_{3}) \)
\( P(A) = \frac{60}{1320}+ \frac{60}{1320} + \frac{60}{1320} + \frac{60}{1320} + \frac{60}{1320}+ \frac{60}{1320} = \frac{360}{1320}= \frac{36}{132} = \frac{9}{33} = \frac{3}{11} \approx 0,27.\)
\( B\) - " wylosowanie kul tego samego koloru".
\( B =\{(B_{1}, B_{2}, B_{3}), (C_{1},C_{2},C_{3}), (N_{1},N_{2},N_{3})\}. \)
\( P(B) = P(B_{1}, B_{2}, B_{3}) + P (C_{1},C_{2},C_{3}) + P(N_{1},N_{2},N_{3}) = \frac{6}{1320}+ \frac{24}{1320} + \frac{60}{1320}= \frac{90}{1320} = \frac{9}{132} = \frac{3}{44} \approx 0,07.\)
Otrzymane wartości prawdopodobieństw interpretujemy tak, jak w modelu bezpośredniego losowania kul z pudełka.
-
maria19
- Stały bywalec
- Posty: 375
- Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
- Podziękowania: 346 razy
- Otrzymane podziękowania: 95 razy
Re: Prawdopodobieństwo
Pewnego razu śp. prof. Wł. Zonn dostał zlecenie na napisanie nudnego elaboratu, nie pamięta już chyba nikt na jaki temat. Napisał a mniej wiecej w środku tekstu wtrącił takie zdanie: "Kto doczytał do tego miejsca, temu stawiam pół litra." Nikt się nie zgłosił, czyżby sami abstynenci? 