Zbadaj zbieżność ciągu \[a_n=\begin{cases}
n^2-2n&\text{dla n parzystych}\\
3^n&\text{dla n nieparzystych }
\end{cases}\]
Zbieżność ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 43
- Rejestracja: 26 mar 2020, 11:14
- Podziękowania: 24 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 1619
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 422 razy
Re: Zbieżność ciągu
Rozważmy podciąg \( (a_{2k}) \) ciągu \( (a_{n}) \)
\( a_{2k+1} = (2k)^2 -4\cdot k = 4k^2 - 4k. \)
Jest to dwumian kwadratowy zmiennej \( k\in N. \)
Wykażemy, że ma granicę \( +\infty \)
Można zwrócić uwagę, że już dla \( k>1 \) wyrazy tego ciągu są dodatnie.
Zapiszmy jego wyrazy w postaci:
\( 4k^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{k}\right) \)
Oczywiście
\( lim_{k \to \infty} (4k^2) = \lim_{k \to \infty} (2k) \cdot \lim_{k\to \infty}(2k) = 2\lim_{k\to \infty} (k)\cdot 2 \lim_{k\to \infty} (k)= (+\infty)\cdot (+\infty) = +\infty \)
(z definicji mnożenia symboli nieskończonych przez liczby dodatnie i twierdzenia o granicy iloczynu)
Drugi czynnik wyrazu ciągu \( \left(1 - \frac{1}{2k}\right) \) ma granicę równą \( 1,\) bo na mocy twierdzenia o granicy ilorazu oraz granicy ciągu stałego \( \lim_{k\to \infty} \frac{1}{k} = 0 \) i na mocy granicy różnicy ciągów \( \lim_{k\to \infty}\left(1 -\frac{1}{k} \right) = 1 - 0 = 1.\)
Ponownie stosując twierdzenie o granicy iloczynu otrzymujemy \( (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)
Możemy więc zapisać, że
\(\lim_{k\to \infty} 4k^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{k}\right) = (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)
Rozważmy drugi podciąg ciągu \( (a_{n}) \) o wyrazach nieparzystych. Wyraz ogólny tego podciągu możemy zapisać w postaci
\( a_{2k+1} = 3^{2k+1} = 3\cdot 3^{2k} = 3\cdot 9^{k}. \)
Jest to ciąg geometryczny o ilorazie \( q = 9 \notin (-1, 1) \) - rozbieżny.
Na podstawie granicy iloczynu i granicy ciągu stałego otrzymujemy:
\( \lim_{k\in +\infty} \left(3^{2k+1} \right) = \lim_{k\to\infty} (3) \cdot \lim_{k\to \infty} ( 9^{k}) = 3\cdot (+\infty) = +\infty.\)
Z wniosku twierdzenia Bolzano - Weierstrassa wynika, że ciąg \( (a_{n}) \) jest rozbieżny.
Przypomnijmy twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
Z każdego ciągu można wybrać podciąg, który ma granicę (skończoną lub nie).
\( a_{2k+1} = (2k)^2 -4\cdot k = 4k^2 - 4k. \)
Jest to dwumian kwadratowy zmiennej \( k\in N. \)
Wykażemy, że ma granicę \( +\infty \)
Można zwrócić uwagę, że już dla \( k>1 \) wyrazy tego ciągu są dodatnie.
Zapiszmy jego wyrazy w postaci:
\( 4k^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{k}\right) \)
Oczywiście
\( lim_{k \to \infty} (4k^2) = \lim_{k \to \infty} (2k) \cdot \lim_{k\to \infty}(2k) = 2\lim_{k\to \infty} (k)\cdot 2 \lim_{k\to \infty} (k)= (+\infty)\cdot (+\infty) = +\infty \)
(z definicji mnożenia symboli nieskończonych przez liczby dodatnie i twierdzenia o granicy iloczynu)
Drugi czynnik wyrazu ciągu \( \left(1 - \frac{1}{2k}\right) \) ma granicę równą \( 1,\) bo na mocy twierdzenia o granicy ilorazu oraz granicy ciągu stałego \( \lim_{k\to \infty} \frac{1}{k} = 0 \) i na mocy granicy różnicy ciągów \( \lim_{k\to \infty}\left(1 -\frac{1}{k} \right) = 1 - 0 = 1.\)
Ponownie stosując twierdzenie o granicy iloczynu otrzymujemy \( (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)
Możemy więc zapisać, że
\(\lim_{k\to \infty} 4k^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{k}\right) = (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)
Rozważmy drugi podciąg ciągu \( (a_{n}) \) o wyrazach nieparzystych. Wyraz ogólny tego podciągu możemy zapisać w postaci
\( a_{2k+1} = 3^{2k+1} = 3\cdot 3^{2k} = 3\cdot 9^{k}. \)
Jest to ciąg geometryczny o ilorazie \( q = 9 \notin (-1, 1) \) - rozbieżny.
Na podstawie granicy iloczynu i granicy ciągu stałego otrzymujemy:
\( \lim_{k\in +\infty} \left(3^{2k+1} \right) = \lim_{k\to\infty} (3) \cdot \lim_{k\to \infty} ( 9^{k}) = 3\cdot (+\infty) = +\infty.\)
Z wniosku twierdzenia Bolzano - Weierstrassa wynika, że ciąg \( (a_{n}) \) jest rozbieżny.
Przypomnijmy twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
Z każdego ciągu można wybrać podciąg, który ma granicę (skończoną lub nie).
-
- Rozkręcam się
- Posty: 43
- Rejestracja: 26 mar 2020, 11:14
- Podziękowania: 24 razy
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: Zbieżność ciągu
User janusz55 strzelił tylko pomyłkę w indeksie dla pierwszego podciągu. Reszta zadania jest dobrze.
Powinno być: \( a_{2n}=4n^2-4n\).
Powinno być: \( a_{2n}=4n^2-4n\).
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając .
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1619
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 422 razy
Re: Zbieżność ciągu
Rozważmy podciąg \( (a_{2k}) \) ciągu \( (a_{n}) \)
\( a_{2k} = (2k)^2 -4\cdot k = 4k^2 - 4k. \)
Jest to dwumian kwadratowy zmiennej \( k\in N. \)
Wykażemy, że ma granicę \( +\infty \)
Można zwrócić uwagę, że już dla \( k>1 \) wyrazy tego ciągu są dodatnie.
Zapiszmy jego wyrazy w postaci:
\( 4k^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{k}\right) \)
Oczywiście
\( lim_{k \to \infty} (4k^2) = \lim_{k \to \infty} (2k) \cdot \lim_{k\to \infty}(2k) = 2\lim_{k\to \infty} (k)\cdot 2 \lim_{k\to \infty} (k)= (+\infty)\cdot (+\infty) = +\infty \)
(z definicji mnożenia symboli nieskończonych przez liczby dodatnie i twierdzenia o granicy iloczynu)
Drugi czynnik wyrazu ciągu \( \left(1 - \frac{1}{2k}\right) \) ma granicę równą \( 1,\) bo na mocy twierdzenia o granicy ilorazu oraz granicy ciągu stałego \( \lim_{k\to \infty} \frac{1}{k} = 0 \) i na mocy granicy różnicy ciągów \( \lim_{k\to \infty}\left(1 -\frac{1}{k} \right) = 1 - 0 = 1.\)
Ponownie stosując twierdzenie o granicy iloczynu otrzymujemy \( (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)
Możemy więc zapisać, że
\(\lim_{k\to \infty} 4k^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{k}\right) = (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)
Rozważmy drugi podciąg ciągu \( (a_{n}) \) o wyrazach nieparzystych. Wyraz ogólny tego podciągu możemy zapisać w postaci
\( a_{2k+1} = 3^{2k+1} = 3\cdot 3^{2k} = 3\cdot 9^{k}. \)
Jest to ciąg geometryczny o ilorazie \( q = 9 \notin (-1, 1) \) - rozbieżny.
Na podstawie granicy iloczynu i granicy ciągu stałego otrzymujemy:
\( \lim_{k\in +\infty} \left(3^{2k+1} \right) = \lim_{k\to\infty} (3) \cdot \lim_{k\to \infty} ( 9^{k}) = 3\cdot (+\infty) = +\infty.\)
Z wniosku twierdzenia Bolzano - Weierstrassa wynika, że ciąg \( (a_{n}) \) jest rozbieżny.
Przypomnijmy twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
Z każdego ciągu można wybrać podciąg, który ma granicę (skończoną lub nie).
\( a_{2k} = (2k)^2 -4\cdot k = 4k^2 - 4k. \)
Jest to dwumian kwadratowy zmiennej \( k\in N. \)
Wykażemy, że ma granicę \( +\infty \)
Można zwrócić uwagę, że już dla \( k>1 \) wyrazy tego ciągu są dodatnie.
Zapiszmy jego wyrazy w postaci:
\( 4k^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{k}\right) \)
Oczywiście
\( lim_{k \to \infty} (4k^2) = \lim_{k \to \infty} (2k) \cdot \lim_{k\to \infty}(2k) = 2\lim_{k\to \infty} (k)\cdot 2 \lim_{k\to \infty} (k)= (+\infty)\cdot (+\infty) = +\infty \)
(z definicji mnożenia symboli nieskończonych przez liczby dodatnie i twierdzenia o granicy iloczynu)
Drugi czynnik wyrazu ciągu \( \left(1 - \frac{1}{2k}\right) \) ma granicę równą \( 1,\) bo na mocy twierdzenia o granicy ilorazu oraz granicy ciągu stałego \( \lim_{k\to \infty} \frac{1}{k} = 0 \) i na mocy granicy różnicy ciągów \( \lim_{k\to \infty}\left(1 -\frac{1}{k} \right) = 1 - 0 = 1.\)
Ponownie stosując twierdzenie o granicy iloczynu otrzymujemy \( (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)
Możemy więc zapisać, że
\(\lim_{k\to \infty} 4k^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{k}\right) = (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)
Rozważmy drugi podciąg ciągu \( (a_{n}) \) o wyrazach nieparzystych. Wyraz ogólny tego podciągu możemy zapisać w postaci
\( a_{2k+1} = 3^{2k+1} = 3\cdot 3^{2k} = 3\cdot 9^{k}. \)
Jest to ciąg geometryczny o ilorazie \( q = 9 \notin (-1, 1) \) - rozbieżny.
Na podstawie granicy iloczynu i granicy ciągu stałego otrzymujemy:
\( \lim_{k\in +\infty} \left(3^{2k+1} \right) = \lim_{k\to\infty} (3) \cdot \lim_{k\to \infty} ( 9^{k}) = 3\cdot (+\infty) = +\infty.\)
Z wniosku twierdzenia Bolzano - Weierstrassa wynika, że ciąg \( (a_{n}) \) jest rozbieżny.
Przypomnijmy twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
Z każdego ciągu można wybrać podciąg, który ma granicę (skończoną lub nie).