Równanie różniczkowe

[Zibi123]

Rozwiąż równanie różniczkowe
\(xy'=x+y+x \cos \frac{y}{x} \)

[Tulio]

Mamy \(x \neq 0\). Dzielimy obie strony przez \(x\):
\(y' = 1+ \frac{y}{x} + \cos {\frac{y}{x}} \)
Jest to rownanie jednorodne. Połóżmy \(y=x \cdot u \left(x \right) \) co nie zmienia nam rozwiązań, wtedy:
\(y'=u \left( x\right) + x \cdot u' \left( x\right) \)
oraz
\(y'=1+u \left( x\right) + \cos \left( u\left( x\right) \right) \)
Zatem:
\(u \left( x\right) + x \cdot u' \left( x\right) = 1+u \left( x\right) + \cos \left( u\left( x\right) \right)\)
\(x \cdot u' \left( x\right) = 1+ \cos \left( u\left( x\right) \right)\)
\(x\cdot \frac{du}{dx} = 1+ \cos \left( u\left( x\right) \right)\)
\(\frac{du}{1+ \cos \left( u\left( x\right) \right)} = \frac{dx}{x} \)
Całkujemy obustronnie:
\( \int \frac{du}{1+ \cos \left( u\left( x\right) \right)} = \int \frac{dx}{x}\)
\( \int \frac{du}{1+ \cos \left( u\left( x\right) \right)} = \ln \left| x \right| + C_1\)
Całka po lewej:
\( \int \frac{du}{1+ \cos \left( u\left( x\right) \right)} = \left\{ t = \tg \frac{u}{2}, dt = \frac{du}{2\cdot \cos^2 { \frac{u}{2} }} = \frac{du}{1+\cos u} \right\} = \int dt = t + C_2 = \tg { \frac{u}{2} } + C_2\)
Przyjmując \(C = C_1 - C_2\) mamy:
\(\tg { \frac{u}{2} } = \ln \left| x \right| + C\)
a więc
\(\frac{u}{2} = \arctg \left( \ln \left| x \right| + C \right) \)
\( u\left( x \right) = 2\cdot \arctg \left( \ln \left| x \right| + C \right) \)
\( u' \left( x \right) = \frac{2}{x\cdot \left( 1 + \left( C + \ln \left| x \right|\right)^2\right) } \)
Wstawiamy do \(y'\):
\(y' = 2\cdot \arctg \left( \ln \left| x \right| + C \right) + x\cdot \frac{2}{x\cdot \left( 1 + \left( C + \ln \left| x \right|\right)^2\right) }\)
i stąd:
\(y = 2 \cdot \int \arctg \left( \ln \left| x \right| + C \right) + \frac{1}{ 1 + \left( C + \ln \left| x \right|\right)^2 } dx\)