Podział pączków.

[gr4vity]

Jaka jest szansa, że przy losowym podziale \(10\) pączków między \(4\) osoby (pączki uważamy za nierozróżnialne) każda dostała:
a) przynajmniej jeden
b) przynajmniej dwa

Nakierował by ktoś? Przeszukałem rozwiązania na różnych forach, natomiast odpowiedzi są różne, a chciałbym znać jednoznaczny sposób rozwiązania tego zadania :/

[Jerry]

UWAGI:

• Pojęcia szansa i prawdopodobieństwo nie są równoważne!
  Prawdopodobieństwo wyrzucenia jedynki na kości jest równe \({1\over6}\), szansa na to jest równa \(1\colon5\). Będę pisał o prawdopodobieństwie.
• Przyjmuję, że osoby są rozróżnialne.
• Przeczytaj, proszę, moje posty z wątków

\(\Omega\) jest zbiorem rozwiązań równania
\(x_1+x_2+x_3+x_4=10\)
w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych. Jest ich tyle, ile rozwiązań równania
\(t_1+t_2+t_3+t_4=14\)
w liczbach całkowitych dodatnich, gdzie \(t_i=x_i+1\), czyli
\[\nad{=}{\Omega}={13\choose3}\]
Zdarzeniu \(A\) sprzyjają rozwiązania równania
\(x_1+x_2+x_3+x_4=10\)
w zbiorze liczb całkowitych dodatnich, czyli
\[\nad{=}{A}={9\choose3}\]
Zdarzeniu \(B\) sprzyjają rozwiązania równania
\(x_1+x_2+x_3+x_4=10\)
w zbiorze liczb całkowitych \(x_i\ge2\), jest ich tyle ile rozwiązań równania
\(z_1+z_2+z_3+z_4=6\)
w liczbach całkowitych dodatnich, gdzie \(z_i=x_i+2\), czyli
\[\nad{=}{B}={5\choose3}\]
Zakładając jednakowe prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych, z definicji Lapace'a...

Pozdrawiam

[edited] w nocy nie mogłem go znaleźć, a wydaje mi się istotny:
https://forum.zadania.info/viewtopic.ph ... 27#p337827

[gr4vity]

Dziękuję bardzo za odpowiedź. Po długim czasie udało mi się załapać o co właściwie chodzi

Szczególnie to mi pomogło:

[*] Przeczytaj, proszę, moje posty z wątków

A w szczególności link, który @kerajs zostawił w pierwszej odpowiedzi do tego tematu.

Trzecia odpowiedź pod tym postem @kerajs pozwoliła mi niemal natychmiast zrozumieć o co tu chodzi
Zostawiam dla linka dla potomnych bo jest tam najlepsze wytłumaczenie jakie udało mi się znaleźć
[LINK]

[Jerry]

Trzecia odpowiedź pod tym postem @kerajs pozwoliła mi niemal natychmiast zrozumieć o co tu chodzi

Zostaw Mu, proszę, pod tym postem "kciuka"

Pozdrawiam

[Jerry]

Nie do końca się zrozumieliśmy... zostawiłem Mu "kciuka" w Twoim imieniu!
Nie zauważyłem, że linkowany post jest nie u nas...

Pozdrawiam
PS. Ale tam też masz konto

[gr4vity]

Czy w drugim przykładzie Pańskiego rozwiązania (b)
Nie powinno być \(z_i=x_i-1\)?

PS: Nie mogę cytować przepraszam :/

[Jerry]

Próbując odpowiedzieć na Twoje pytanie doszedłem do wniosku, że zmienię redakcję rozwiązania. Może będzie czytelniejsza

Dla \(t\ge1\), gwarantującego przyjazne przeliczanie mnogości całkowitoliczbowych rozwiązań równania, mamy

• \(\Omega\): \(x_i=t_i-1\ge0\)
  \(\quad x_1+x_2+x_3+x_4=10\iff (t_1-1)+(t_2-1)+(t_3-1)+(t_4-1)=10\iff\\ \quad\iff t_1+t_2+t_3+t_4=14 \)
• \(A\): \(x_i=t_i\ge1\)
  \(\quad x_1+x_2+x_3+x_4=10\iff t_1+t_2+t_3+t_4=10\)
• \(B\): \(x_i=t_i+1\ge2\)
  \(\quad x_1+x_2+x_3+x_4=10\iff (t_1+1)+(t_2+1)+(t_3+1)+(t_4+1)=10\iff\\ \quad\iff t_1+t_2+t_3+t_4=6\)

Co nie zmienia ostatecznego rozwiązania

Pozdrawiam

[gr4vity]

O i teraz wszystko się zgadza.
Chodziło mi dokładnie o ten moment:

Zdarzeniu \(B\) sprzyjają rozwiązania równania
\(x_1+x_2+x_3+x_4=10\)
w zbiorze liczb całkowitych \(x_i\ge2\), jest ich tyle ile rozwiązań równania
\(z_1+z_2+z_3+z_4=6\)
w liczbach całkowitych dodatnich, gdzie \(z_i=x_i+2\), czyli

Podstawiając \(z_i=x_i+2\)
Miałbym: \(x_i=z_i-2\)
A jeżeli pod to równanie: \((x_1+x_2+x_3+x_4=10) \)
To otrzymam: \(z_1+z_2+z_3+z_4=18\) a nie : \((z_1+z_2+z_3+z_4=6) \)
Chyba, że znowu coś źle zrozumiałem

[Jerry]

O i teraz wszystko się zgadza.

I to jest najważniejsze

Pozdrawiam