Odchylenie Standardowe

[suinnmoo]

40 uczniów przeszło test, prawdopodobieństwo zdania testu dla każdego ucznia wynosi odpowiednio \(p_{1},p_{2},...,p_{40}\)
Ilu średnio uczniów zdało? Jeżeli założymy, że wyniki są niezależne, to ile wyniesie odchylenie standardowe od średniej liczby uczniów, którzy zdali?


Czy średnia liczba uczniów to chodzi o wartość oczekiwaną?
\(EX=1\cdot p_{1}+2\cdot p_{2}+...+40\cdot p_{40}\)
a odchylenie zapisać tak czy jakoś rozwinąć?
\(\sqrt{D^{2}(p_{1}+p_{2}+...+p_{40})}=\sqrt{D^{2}(p_{1})+D^{2}(p_{2})+...+D^{2}(p_{40})}\)

[panb]

40 uczniów przeszło test, prawdopodobieństwo zdania testu dla każdego ucznia wynosi odpowiednio \(p_{1},p_{2},...,p_{40}\)
Ilu średnio uczniów zdało? Jeżeli założymy, że wyniki są niezależne, to ile wyniesie odchylenie standardowe od średniej liczby uczniów, którzy zdali?


Czy średnia liczba uczniów to chodzi o wartość oczekiwaną?
\(EX=1\cdot p_{1}+2\cdot p_{2}+...+40\cdot p_{40}\)
a odchylenie zapisać tak czy jakoś rozwinąć?
\(\sqrt{D^{2}(p_{1}+p_{2}+...+p_{40})}=\sqrt{D^{2}(p_{1})+D^{2}(p_{2})+...+D^{2}(p_{40})}\)

Raczej (na pewno) nie tak!
Niech X będzie zmienną losową taką, że \(X=X_1+X_2+\ldots+X_{40}\), gdzie \( X_i=\begin{cases} 1&\text{ zdał}\\0&\text{nie zdał}\end{cases} \)

• \(EX=p_1\cdot1+(1-p_1)\cdot0+p_2\cdot1+(1-p_2)\cdot0+\ldots+p_{40}\cdot1+(1-p_{40})\cdot0\\
  EX=p_1+p_2+\ldots+p_{40}=m\)

• \(\sigma_i^2=D^2(X_i)=E \left[(X_i-EX)^2 \right]=(1-m)^2\cdot p_i+(0-m)^2(1-p_i)=p_i-2mp_i+m^2\)
  Ponieważ zmienne \(X_i\) są niezależne, więc
  \(\displaystyle D^2(X)= \sum_{i=1}^{40}\sigma_i^2= \sum_{i=1}^{40}p_i-2m \sum_{i=1}^{40}p_i+\sum_{i=1}^{40}m^2=m-2m^2+40m^2=m+38m^2\)

[korki_fizyka]

40 uczniów przeszło test, prawdopodobieństwo zdania testu dla każdego ucznia wynosi odpowiednio \(p_{1},p_{2},...,p_{40}\)
Ilu średnio uczniów zdało? Jeżeli założymy, że wyniki są niezależne, to ile wyniesie odchylenie standardowe od średniej liczby uczniów, którzy zdali?


Czy średnia liczba uczniów to chodzi o wartość oczekiwaną?

Nie średnia liczba uczniów tylko średnia liczba tych, którzy zdali.