a) \(3(log_2{sinx})^2+log_2(1-cos2x)=2\)
b) \(log_{ \sqrt{2}sinx}(1+cosx)=2\)
Równania logarytmiczno-trygonometryczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Równania logarytmiczno-trygonometryczne
a)
\(3(\log_2{\sin x})^2+\log_2(1-\cos 2x)=2 \ \ \wedge \ \ \sin x>0 \\
3(\log_2{\sin x})^2+\log_2(2\sin^2x)=2\\
3(\log_2{\sin x})^2+1+2\log_2{\sin x}=2\\
3(\log_2{\sin x})^2+2\log_2{\sin x}-1=0\\
3(\log_2{\sin x}+1)(\log_2{\sin x}- \frac{1}{3}) =0 \\
\log_2{\sin x}=-1 \ \ \vee \ \ \log_2{\sin x}= \frac{1}{3} \\
\sin x= \frac{1}{2} \ \ \vee \ \ \sin x= \sqrt[3]{2} \\
\sin x= \frac{1}{2}\\
x= \frac{ \pi }{6}+k2 \pi \ \ \vee \ \ x= \frac{ \pi }{6}+k2 \pi
\)
b)
\(\log_{ \sqrt{2}\sin x}(1+\cos x)=2 \ \ \wedge \ \ \sin x >0 \ \ \wedge \ \ \sin x \neq \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
\log_{ \sqrt{2}\sin x}(1+\cos x)=2\log_{ \sqrt{2}\sin x}(\sqrt{2}\sin x) \\
1+\cos x=(\sqrt{2}\sin x)^2 \\
1+\cos x=2-2\cos^2 x \\
2(\cos x+1)(\cos x- \frac{1}{2} )=0\\
(\cos x=-1 \ \ \vee \ \ \cos x= \frac{1}{2} ) \ \ \wedge \ \ \sin x >0 \ \ \wedge \ \ \sin x \neq \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
x= \frac{ \pi }{3}+k2 \pi \)
\(3(\log_2{\sin x})^2+\log_2(1-\cos 2x)=2 \ \ \wedge \ \ \sin x>0 \\
3(\log_2{\sin x})^2+\log_2(2\sin^2x)=2\\
3(\log_2{\sin x})^2+1+2\log_2{\sin x}=2\\
3(\log_2{\sin x})^2+2\log_2{\sin x}-1=0\\
3(\log_2{\sin x}+1)(\log_2{\sin x}- \frac{1}{3}) =0 \\
\log_2{\sin x}=-1 \ \ \vee \ \ \log_2{\sin x}= \frac{1}{3} \\
\sin x= \frac{1}{2} \ \ \vee \ \ \sin x= \sqrt[3]{2} \\
\sin x= \frac{1}{2}\\
x= \frac{ \pi }{6}+k2 \pi \ \ \vee \ \ x= \frac{ \pi }{6}+k2 \pi
\)
b)
\(\log_{ \sqrt{2}\sin x}(1+\cos x)=2 \ \ \wedge \ \ \sin x >0 \ \ \wedge \ \ \sin x \neq \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
\log_{ \sqrt{2}\sin x}(1+\cos x)=2\log_{ \sqrt{2}\sin x}(\sqrt{2}\sin x) \\
1+\cos x=(\sqrt{2}\sin x)^2 \\
1+\cos x=2-2\cos^2 x \\
2(\cos x+1)(\cos x- \frac{1}{2} )=0\\
(\cos x=-1 \ \ \vee \ \ \cos x= \frac{1}{2} ) \ \ \wedge \ \ \sin x >0 \ \ \wedge \ \ \sin x \neq \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
x= \frac{ \pi }{3}+k2 \pi \)
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: Równania logarytmiczno-trygonometryczne
A co z tym \(sinx= \sqrt[3]{2}\) . W odpowiedzi drugiej do a) powinno być \(sinx= \frac{5}{6} \pi +2k \pi \)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Równania logarytmiczno-trygonometryczne
Ponieważ \( \sqrt[3]{2}>1\) więc równanie \(\sin x= \sqrt[3]{2}\) nie ma rozwiązania.
Co do odpowiedzi w a) to owszem, powinno tam być \(x= \frac{5\pi}{6} +k2 \pi \). Nawet przygotowałem miejsce na tę odpowiedź, lecz nie umiem wyjaśnić dlaczego brakuje mi tam piątki. Byłem przekonany że ją dopisywałem do kopiowanego fragmentu, ale jak widać tego nie zrobiłem. Sorki.
PS.
Pewnie będziesz równie zaskoczony widząc swój zapis:
Co do odpowiedzi w a) to owszem, powinno tam być \(x= \frac{5\pi}{6} +k2 \pi \). Nawet przygotowałem miejsce na tę odpowiedź, lecz nie umiem wyjaśnić dlaczego brakuje mi tam piątki. Byłem przekonany że ją dopisywałem do kopiowanego fragmentu, ale jak widać tego nie zrobiłem. Sorki.
PS.
Pewnie będziesz równie zaskoczony widząc swój zapis: