Całka - przez części

[agata0987]

Oblicz całkę metodą przez części:
\(\int_{}^{} sin^5xcosxdx\)

[jola]

łatwiej przez podstawianie

\(\int_{}^{} \sin^5x\cos x dx= \left\{\sin x=t\\ \cos x dx=dt \right\}= \int_{}^{} t^5 dt= \frac{t^6}{6}+c= \frac{\sin^6x}{6}+c\)

[agata0987]

No ja wiem, ale mam w zadaniu zrobic przez czesci :/

[BetrR65]

Rzeczywiście, przez tej całki przez części to tak "na okrętkę"
W całkowanej funkcji podstawmy \(u=sin^5x \Rightarrow u^'=5 sin^4 x cos x\) oraz \(v^'=cos x \Rightarrow v=sin x\)
Wtedy szukana całka ma postać
\(\int_{}^{} sin^5 x cos x dx = sin^5 x * sin x - \int_{}^{} 5* sin^4 x *sin x *cos x dx= sin^6 x -5 \int_{}^{} sin^5x cos x dx\)
Porządkując rówanie mamy
\(6 \int_{}^{} sin^5 x cos x dx = sin^6 x +C\)
czyli
\(\int_{}^{} sin^5 x cos x dx = \frac{1}{6} sin^6 x +C\)