Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych nieujemnych takich, że suma ich iloczynu i ilorazu jest równa 185.
bardzo proszę o pomoc..
pary liczb
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(xy+ \frac{x}{y} = 185
x(y+ \frac{1}{y}) =185
185=37*5=1*185\),
bo są to jedyne podzielniki 185.
Z tego powstaje alternatywa rozwiązań:
\(x=1 , y+ \frac{1}{y} =185
\vee
x=5 , y+ \frac{1}{y} =37
\vee
x=37 , y+ \frac{1}{y} =5
\vee
x=185 , y+ \frac{1}{y} =1\)
Rówania po prawej stronie sprowadza się do rówanań kwadratowych postaci \(y^2-ay+1=0\), ale w każdym delta wychodzi tak, że nie da się wyciagnąć pierwiastka wymiernego, a w jednym jest ujemna.
Wg mnie nie ma takich liczb całkowitych nieujemnych, które spełniałyby warunki zadania.
x(y+ \frac{1}{y}) =185
185=37*5=1*185\),
bo są to jedyne podzielniki 185.
Z tego powstaje alternatywa rozwiązań:
\(x=1 , y+ \frac{1}{y} =185
\vee
x=5 , y+ \frac{1}{y} =37
\vee
x=37 , y+ \frac{1}{y} =5
\vee
x=185 , y+ \frac{1}{y} =1\)
Rówania po prawej stronie sprowadza się do rówanań kwadratowych postaci \(y^2-ay+1=0\), ale w każdym delta wychodzi tak, że nie da się wyciagnąć pierwiastka wymiernego, a w jednym jest ujemna.
Wg mnie nie ma takich liczb całkowitych nieujemnych, które spełniałyby warunki zadania.
Wydaje mi się, że niepotrzebnie przyjąłeś, ze liczba \(y+\frac{1}{y}\) musi być całkowita, bo nie musi.
A ja sobie to tak rozpisałam:
\(x\cdot\frac{y^2+1}{y}=185\\x=\frac{185y}{y^2+1}\)
Dalej- rozumuję podobnie:
\(x=\frac{5\cdot37\cdot\ y}{y^2+1}\)
Poszukiwać trzeba takich liczb y, żeby liczba \(y^2+1\) dzieliła iloczyn w liczniku.
Jeżeli \(y^2+1=5\), to y=2 (bo nie może być -2).
Czyli jednym z rozwiązań jest para \(\begin{cases}x=74\\y=2 \end{cases}\)
Jeżeli \(y^2+1=37\), to y=6.
Drugim rozwiązaniem jest para \(\begin{cases}x=30\\y=6 \end{cases}\)
Poza tym: \(y^2+1\) nie może być równe 1, bo wtedy y=0 i nie istniałby iloraz.
Nie może być też \(y^2+1=185\), bo wtedy y byłoby liczbą niewymierną.
Myślę, że innych par nie ma. Bo jeśli wzięlibyśmy jakąkolwiek inną liczbę za y, to liczba \(y^2+1\) nie dzieliłaby takiego iloczynu.
A ja sobie to tak rozpisałam:
\(x\cdot\frac{y^2+1}{y}=185\\x=\frac{185y}{y^2+1}\)
Dalej- rozumuję podobnie:
\(x=\frac{5\cdot37\cdot\ y}{y^2+1}\)
Poszukiwać trzeba takich liczb y, żeby liczba \(y^2+1\) dzieliła iloczyn w liczniku.
Jeżeli \(y^2+1=5\), to y=2 (bo nie może być -2).
Czyli jednym z rozwiązań jest para \(\begin{cases}x=74\\y=2 \end{cases}\)
Jeżeli \(y^2+1=37\), to y=6.
Drugim rozwiązaniem jest para \(\begin{cases}x=30\\y=6 \end{cases}\)
Poza tym: \(y^2+1\) nie może być równe 1, bo wtedy y=0 i nie istniałby iloraz.
Nie może być też \(y^2+1=185\), bo wtedy y byłoby liczbą niewymierną.
Myślę, że innych par nie ma. Bo jeśli wzięlibyśmy jakąkolwiek inną liczbę za y, to liczba \(y^2+1\) nie dzieliłaby takiego iloczynu.