Trójkąt prostokątny

[natalka96]

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4, a wysokość opuszczona na przeciwprostokątną jest równa 3. Oblicz pole tego trójkąta.

[Galen]

Narysuj trójkąt ABC i wysokość CD=h=3
\(|BC|=a=4\\|BD|=x\\|DA|=y\\|CA|=b\\x^2+3^2=4^2\;\;\;to\;\;x= \sqrt{7}\)
Pole trójkąta=\(\frac{1}{2} \cdot 4b= \frac{1}{2}c \cdot h= \frac{1}{2} \cdot 3c \;\;\;i\;\;\;x+y=c\\c= \frac{4}{3}b\)
\(3^2+y^2=b^2\\y^2=b^2-9\\y= \sqrt{b^2-9}\)
\(c=x+y= \frac{4}{3}b\\
\sqrt{7}+ \sqrt{b^2-9}= \frac{4}{3}b\\
\sqrt{b^2-9}= \frac{4}{3}b- \sqrt{7}\\
3 \sqrt{b^2-9}=4b-3 \sqrt{7}/()^2\\
9(b^2-9)=16b^2-24 \sqrt{7} b+63\\
7b^2-24 \sqrt{7} b+144=0\\\Delta=0\\b= \frac{24 \sqrt{7} }{14}\\b= \frac{12 \sqrt{7} }{7}\\
Pole= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{12 \sqrt{7} }{7}= \frac{24 \sqrt{7} }{7}\)

[jola]

Niech w trójkącie ABC kąt o wierzchołku A będzie kątem prostym , przyprostokątna AB = 4 , druga przyprostokątna AC ma długość b i \(| \angle ABC|= \beta\) . Długość wysokości AK jest 3 .
\(W \Delta AKB\) \(sin \beta = \frac{3}{4}\)
Z jedynki trygonometrycznej obliczam \(cos \beta = \sqrt{1-( \frac{3}{4})^2}= \frac{ \sqrt{7} }{4}\) , skąd
\(tg \beta = \frac{sin \beta }{cos \beta }= \frac{3}{ \sqrt{7} }\)
\(W \Delta ABC\) \(tg \beta = \frac{AC}{AB}\),
czyli \(\frac{b}{4} = \frac{3}{ \sqrt{7} }\) , skąd \(|AC|=b= \frac{12}{ \sqrt{7} }= \frac{12 \sqrt{7} }{7}\) .
Pole trójkąta ABC jest równe \(P= \frac{1}{2} |AC| \cdot|AB|= \frac{24 \sqrt{7} }{7}\) .

[patryk00714]

inny sposób: w trójkacie prostokątnym o bokach a,b,c długość wysokosci poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego to \(h=\frac{ba}{c}\)

stąd \(3=\frac{4a}{c}\)

stąd \(3c=4a\)

oraz z tw. Pitagorasa mamy \(16+a^2=c^2\)

mamy układ: \(\begin{cases}c=\frac{4}{3}a \\ 16+a^2=\frac{16}{9}a^2 \end{cases}\)

zatem \(16=\frac{7}{9}a^2\)

\(a=\frac{12}{\sqrt{7}}\)

stąd mmay \(P=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{\sqrt{7}} \cdot 4 = \frac{24\sqrt{7}}{7}\)