granica z definicji

[RozbrajaczZadaniowy]

Wykazać, że:

\(\Lim_{x\to 3} \sqrt{x+1}=2\)

\(|a_n-g|< \varepsilon
\\| \sqrt{x+1}-2|< \varepsilon\)

I co zrobić dalej? Bo raczej tej wartości bezwzględnej nie mogę sobie od tak pominąć i liczyć:

\(\sqrt{x+1}< \varepsilon +2
\\x< \varepsilon ^2+4 \varepsilon +3\)

[ewelawwy]

pominąć nie możesz, bo
\(|x|<a\ \iff \ -a<x<a\)

[RozbrajaczZadaniowy]

No skoro nie mogę to co z tym dalej robić ?

[ewelawwy]

no właśnie wg tego co napisałam wyżej rozpisać swoją nierówność, tj.
\(| \sqrt{x+1}-2|< \varepsilon \ \So \ -\varepsilon <\sqrt{x+1}-2< \varepsilon\\
\sqrt{x+1}-2>-\varepsilon \ \wedge \ \sqrt{x+1}-2< \varepsilon\)

[Panko]

\(\Lim_{x\to 3} \sqrt{x+1} =2\) \(\iff \forall \varepsilon >0\) \(\\)\(\exists \delta>0\)\(\\)\(\forall x\)\(\\)\(\) \(0< |x-3| <\delta\)\(\So\)\(|\sqrt{x+1} -2 |< \varepsilon\)

Szukamy \(\delta( \varepsilon )\) ?

\(|\sqrt{x+1} -2 | =\frac{ |\sqrt{x+1} -2 | * |\sqrt{x+1} +2 | }{ |\sqrt{x+1} +2 | } = \frac{ | x-3| }{|\sqrt{x+1} +2 |}<| x-3|\)
bo \(\frac{1}{|\sqrt{x+1} +2 | } <1\)

Zauważ ,że \(\delta( \varepsilon )= \varepsilon\)
wtedy :\(0< |x-3| < \varepsilon\) \(\So\) \(|\sqrt{x+1} -2 | = \frac{ | x-3| }{|\sqrt{x+1} +2 |} < | x-3|< \varepsilon\)

[RozbrajaczZadaniowy]

Ma to sens . Dzięki