W jaki sposob oblicza sie monotonicznosc takich funkcji?
\(1. f(x)=x*e^x\) wyszlo mi, że \(f'(x)=e^x\) a dalej?
\(2.f(x)=(x^2-3)*e^(-x)\) a to to juz kosmos dla mnie ;/
wyszla mi taka pochodna:
\(f'(x)=(2x-3)e^(-x)\)
funkcje z e
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\((f(x)\cdot\ g(x))'=f'(x)\cdot\ g(x)+f(x)\cdot\ g'(x)\)
\(f'(x)=(x\cdot\ e^x)'=1\cdot\ e^x+x\cdot\ e^x=e^x(1+x)\)
\(f'(x)>0 \Leftrightarrow e^x(1+x)>0\\e^x>0\\f'(x)>0 \Leftrightarrow 1+x>0 \Leftrightarrow x>-1\)
\(f'(x)<0 \Leftrightarrow 1+x<0 \Leftrightarrow x<-1\)
Funkcja f(x) jest rosnąca dla \(x \in (-1;\ \infty )\)
Funkcja jest malejąca dla \(x \in (- \infty ;\ -1)\)
\(f'(x)=(x\cdot\ e^x)'=1\cdot\ e^x+x\cdot\ e^x=e^x(1+x)\)
\(f'(x)>0 \Leftrightarrow e^x(1+x)>0\\e^x>0\\f'(x)>0 \Leftrightarrow 1+x>0 \Leftrightarrow x>-1\)
\(f'(x)<0 \Leftrightarrow 1+x<0 \Leftrightarrow x<-1\)
Funkcja f(x) jest rosnąca dla \(x \in (-1;\ \infty )\)
Funkcja jest malejąca dla \(x \in (- \infty ;\ -1)\)
\(f(x)=(x^2-3)\cdot\ e^{-x}\)
\(f'(x)=2x\cdot\ e^{-x}+(x^2-3)\cdot\ e^{-x}\cdot(-1)=(-x^2+2x+3)\cdot\ e^{-x}\)
\(e^{-x}>0\) dla każdej rzeczywistej liczby x
\(f'(x)>0 \Leftrightarrow -x^2+2x+3>0\\x_1=3\ \vee \ x_2=-1\\f'(x)>0 \Leftrightarrow \ x \in (-1;\ 3)\\f'(x)<0 \Leftrightarrow x \in (-\ \infty ;\ -1)\ \cup \ (3;\ \infty )\)
Funkcja f(x) jest rosnąca dla \(x \in (-1;\ 3)\)
Funkcja f(x) jest malejąca dla \(x \in (-\ \infty ;\ -1)\ \cup \ (3;\ \infty )\)
\(f'(x)=2x\cdot\ e^{-x}+(x^2-3)\cdot\ e^{-x}\cdot(-1)=(-x^2+2x+3)\cdot\ e^{-x}\)
\(e^{-x}>0\) dla każdej rzeczywistej liczby x
\(f'(x)>0 \Leftrightarrow -x^2+2x+3>0\\x_1=3\ \vee \ x_2=-1\\f'(x)>0 \Leftrightarrow \ x \in (-1;\ 3)\\f'(x)<0 \Leftrightarrow x \in (-\ \infty ;\ -1)\ \cup \ (3;\ \infty )\)
Funkcja f(x) jest rosnąca dla \(x \in (-1;\ 3)\)
Funkcja f(x) jest malejąca dla \(x \in (-\ \infty ;\ -1)\ \cup \ (3;\ \infty )\)