funkcja odwrotna

[batibou]

Hej, mam takie zadanie:
zbadaj monotoniczność funkcji odwrotnej do f oraz podaj dziedzinę funkcji odwrotnej dla f(x)=(3 - log o podstawie 5 z pierwiastka x)/(1 + log o podstawie 0,2 z x)

Mógłby mi ktoś pomóc? :)

[radagast]

Hej, mam takie zadanie:
zbadaj monotoniczność funkcji odwrotnej do f oraz podaj dziedzinę funkcji odwrotnej dla f(x)=(3 - log o podstawie 5 z pierwiastka x)/(1 + log o podstawie 0,2 z x)

Mógłby mi ktoś pomóc?

Czy to miała być taka funkcja ?

\(f(x)= \frac{3-log_5 \sqrt{x} }{1+log_{0,2}x}\)

[radagast]

Jeśli tak, to wyszło mi \(f^{-1}(y)=5^{ \frac{y-3}{y- \frac{1}{2} } }\) ale czekam na potwierdzenie ,że o taką funkcję chodziło.

[batibou]

Tak tak, o taką chodziło. A mógłbyś tak po krótce opisac jak to zrobiłeś?

[radagast]

Wyznaczyłam x z równania: \(y= \frac{3-log_5 \sqrt{x} }{1+log_{0,2}x}\)
zrobiłam to tak:
\(y= \frac{3- \frac{1}{2} log_5 x }{1+ \frac{log_5x}{log_5{ \frac{1}{5} }} }=\frac{3- \frac{1}{2} log_5 x }{1+ \frac{log_5x}{-1} }=\frac{3- \frac{1}{2} log_5 x }{1- log_5x}=\frac{3- \frac{1}{2} a }{1- a}\) przy czym \(a=log_5x\)

No to \(a= \frac{y-3}{y- \frac{1}{2} }\)

czyli \(log_5x= \frac{y-3}{y- \frac{1}{2} }\)

czyli \(x=5^{\frac{y-3}{y- \frac{1}{2} } }\)

[radagast]

No to teraz wyznaczenie dziedziny nie jest kłopotliwe : \(D_{f^{-1}}= R \setminus \left\{ \frac{1}{2} \right\}\)

No i skoro funkcja zewnętrza (\(y=5^t\)) jest rosnąca to \(f^{-1}\) jest rosnąca na każdym swoim kawałku.
To znaczy: jest rosnąca w \(\left(- \infty , \frac{1}{2} \right)\)
oraz jest rosnąca w \(\left( \frac{1}{2} , \infty \right)\)
Ale uwaga: nie można powiedzieć, że ona jest rosnąca w całej dziedzinie.

[batibou]

Ok, teraz już zrozumiałam. Dzięki wielkie:)