Rachunek prawdopodobieństwa

[MoniPos]

Witam serdecznie. Potrzebuję pomocy z zadaniem. Mamy 2 koszyki, w których znajdują się kule białe i czarne. W koszyku A umieszczone są 2 kule białe i 3 czarne, w koszyku B 1 kulą białą i 2czarne. Rzucamy najpierw monetą. Jeśli otrzymamy orła, to losujemy jedną kulę z koszyka A. Jeśli otrzymamy reszkę, to losujemy jedną kulę z koszyka B. Jakie jest prawdopodobieństwo że wylosowano kulę białą? Jeśli wylosowana kula jest biała, to jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie monetą otrzymaliśmy orła? I jeśli wylosowana kula jest czarna, to jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie monetą otrzymaliśmy reszkę?

[Tulio]

P-stwo wyrzucenia orła \( \frac{1}{2} \) i tyle samo dla reszki. P-stwo wylosowania kuli białej z koszyka \(A\) wynosi \(\frac{2}{5}\) (dwie kule białe, pięć kul w ogóle), a z koszyka \(B\) wynosi \(\frac{1}{3}\)
P-stwo wylosowania kuli białej, to: \(P=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{11}{30}\).

P-stwo wylosowania kuli białej z koszyka pierwszego jest \(\frac{6}{5}\) raza większe niż z koszyka drugiego (rozwiązuję \(\frac{1}{3} \cdot x = \frac{2}{5}\)). Oznaczam \(t\) - prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę białą z koszyka \(B\) i \(\frac{6}{5}t\), że z koszyka \(A\). Zatem, prawdopodobieństwo, że kulę białą wylosowano z koszyka \(A\) wynosi: \(\frac{\frac{6}{5} t}{\frac{6}{5} t + t} = \frac{6}{11}\).

Podobnie z drugim przypadkiem.
Edit: Chyba składniowo/językowo trochę masło-maślane napisałem w ostatnim zdaniu, ale nie wiem jak poprawić. Wynik raczej poprawny.

[MoniPos]

Dziękuję bardzo

[janusz55]

Zadanie z Rachunku Prawdopodobieństwa

Dwa koszyki:

- koszyk \( A : \ \ 2b + 3c \)

-koszyk \( B: \ \ 1b + 2c \)

Rzucamy monetą:

\( \Omega_{1} = \{ O, R\}.\)

\( P(\{O\}) = \frac{1}{2} = P(\{R\}).\)

Losujemy kulę z koszyka \( A \) lub koszyka \( B:\)

\( \Omega_{2|O} = \{b, c\}. \)

\( P(\{b\}) = \frac{2}{5},\ \ P(\{c\}) = \frac{3}{5}, \)

\( \Omega_{2|R} = \{b, c\}.\)

\( P(\{b\} = \frac{1}{3}, \ \ P(\{c\}) = \frac{2}{3}. \)

Rzucaliśmy monetą i losowaliśmy kulę z koszyka \( A \) lub koszyka \( B:\)

\( B \) - zdarzenie "wylosowaliśmy kulę biała:

Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:

\( P(B) = P(\{O\})\cdot P(\{ B|O\}) + P(\{R\})\cdot P(\{B|R\}) = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{10}+\frac{1}{6} = \frac{6+5}{30} = \frac{11}{30}.\)

Ze wzoru Pastora Thomasa Bayesa:

(a)
\( P(O|B) = \frac{P(O\cap B)}{P(B)} = \frac{P(O)\cdot P(B|O)}{P(O)P(B|O) + P(R)P(B|R)} =\frac{ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{10}}{\frac{11}{30}} = \frac{2}{10} \cdot \frac{30}{11} = \frac{6}{11}.\)

(b)
\( P(R|C) = \frac{P(R\cap C)}{P(C)} = \frac{P(R)\cdot P(C|R)}{P(R)P(C|R) + P(O)P(C|O)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}} =\frac{\frac{2}{6}}{\frac{2}{6} + \frac{3}{10}} = \frac{{1}{6}}{\frac{19}{30}} =\frac{1}{6}\cdot \frac{30}{19} = \frac{5}{19}.\)

Możemy spodziewać się, że w około \( 37\% \) ogólnej liczby wyników wylosowaliśmy kulę białą.

W około \( 54\% \) wyników, jeśli wylosowaliśmy kulę białą, to najpierw wylosowaliśmy orła i w około \( 26\% \), jeśli wylosowaliśmy kulę czarną, to w pierwszym etapie wypadła reszka.

[MoniPos]

Super, dziękuję

[Tulio]

(b)
\( P(R|C) = \frac{P(R\cap C)}{P(C)} = \frac{P(R)\cdot P(C|R)}{P(R)P(C|R) + P(O)P(C|O)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}} =\frac{\frac{2}{6}}{\frac{2}{6} + \frac{3}{10}} = \frac{{1}{6}}{\frac{19}{30}} =\frac{1}{6}\cdot \frac{30}{19} = \frac{5}{19}.\)

Tu błąd w obliczeniach:
\(\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}} = \frac{\frac{2}{6}}{\frac{2}{6}+\frac{3}{10}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{19}{30}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{30}{19} = \frac{10}{19}\)

Moim sposobem:
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z koszyka drugiego jest \(\frac{10}{9}\) (\(\frac{3}{5} x = \frac{2}{3}\)) większe niż z pierwszego. Oznaczam \(s\) – prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z koszyka \(A\) oraz \(\frac{10}{9} s\) – że z koszyka \(B\). Wtedy:
\(\frac{\frac{10}{9} s}{\frac{10}{9} s + s} = \frac{10s}{9}\cdot\frac{9}{19s} = \frac{10}{19}\)

[MoniPos]

Jaką formułę wpisać w excelu, żeby obliczyć współczynnik zmienności?
W załączeniu zdjęcie

[Tulio]

Do robienia "zdjęć" ekranu służy przycisk PrtSc, ja tutaj nic nie widzę.