Całka po obszarze

[virux135]

Obliczyć całkę \(\int \int y \, dx \, dy \) po obszarze \( D=((x,y): x^2-2x+1 \leq y \leq \sqrt{2x - x^2})\). Żeby to rozwiązać to trzeba wprowadzić współrzędne biegunowe? Chyba by było najlepiej, ale nie jestem pewny co do tego jaka by była dolna granica w r - mi wyszło \( 0\leq r\leq 2sin(\phi) \)

[janusz55]

Zadanie rozwiązujemy we współrzędnych prostokątnych, znajdując współrzędne punktów wspólnych krzywych \( y = (x-1)^2\) i \( y = \sqrt{1-(x-1)^2}.\)

\( (x-1)^2 = \sqrt{1- (x-1)^2} \ \ |^2\)

\( (x-1)^4 = 1- (x-1)^2 \)

\( (x-1)^4 +(x-1)^2 -1 = 0.\)

\( x-1:= t \)

\( t^4 +t^2 -1 = 0 \) - równanie Fibonacci.

\( t^2 := z, \ \ z>0 \)

\( z^2 +z - 1 = 0, \ \ z_{1} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \vee z_{2} = \frac{-\sqrt{5}-1}{2}<0. \)

\( t_{1} = -\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \vee t_{2} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \)

\( x_{1} = 1 - \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \vee x_{2} = 1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.\)

Zapisujemy obszar \( D = \{(x,y)\in \rr^2: \ \ 1 - \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \leq x \leq 1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \wedge 0\leq y \leq 1\}.\)

\(\iint_{(D)} ydx dy = \int_{0}^{1} ydy \int_{1 - \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}^{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}dx = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.\)