Forum serwisu

8.
\(\vec{AB}=[3-7,-1-2]=[-4,-3]\\
|\vec{AB}|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)

prosta AB: (y-3)(5-2)-(x-2)(7-3)=0\\ 3(y-3)-4(x-2)=0\\ 3y-9-4x+8=0\\ 4x-3y+1=0 prosta CD: (y-q)(2p-p)-(x-p)(q-1-q)=0\\ p(y-q)+x-p=0\\ py-pq+x-p=0\\ x+py-p(q+1)=0 proste A_1x+B_1y+C_1=0 i A_2x+B_2y+C_2=0 są równoległe gdy A_1B_2-A_2B_1=0 czyli 4p-1 \cdot (-3)=0\\ 4p+3=0\\ p=-\frac{3}{4}\\ q\in\mathbb...

t=3\cos^2x+1\;t\in[1,4] szukamy wartości najmniejszej i największej funkcji g(t)=2t^2-12t+16 w przedziale t\in [1,4] p=\frac{-b}{2a}\\ p=\frac{12}{4}=3\in [1,4]\\ g(p)=g(3)=2\cdot 9-12\cdot 3+16=-2\\ g(1)=2\cdot 1-12\cdot 1+16=6\\ g(4)=2\cdot 16-12\cdot 4+16=0\\ f_{\mbox{min}}=f(3)=-2\\ f_{\mbox{ma...

długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wyraża się wzorem
\(r=\frac{a+b-c}{2}\)
gdzie a i b to przyprostokątne, c - przeciwprostokątna
w Twoim zadaniu:
\(1=\frac{x+y-c}{2}\\
2=x+y-c\\
2+c=x+y\)

dla dowolnych kątów \(\alpha\) i \(\beta\)
\(\sin ( \alpha - \beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta\)

\sin 30^{\circ}=\frac{a}{c}\; \Rightarrow \;\frac{1}{2}=\frac{a}{c}\; \Rightarrow \;c=2a\\ \cos 30^{\circ}=\frac{b}{c}\; \Rightarrow \;\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{b}{2a}\; \Rightarrow \; b=a\sqrt{3} z twierdzenia o dwusiecznej \frac{x}{c}=\frac{y}{b}\\ \frac{x}{c}=\frac{a-x}{b}\\ \frac{x}{2a}=\frac{a-...

5.
\(W(x)=x^3+2x^2-x+a\\
W(1)=0\\
1+2-1+a=0\; \Rightarrow \;a=-2\\
W(x)=x^3+2x^2-x-2=x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1)\\
W(x)=0\; \Leftrightarrow x=-2\; \vee \;x=-1\; \vee \; x=1\)

2.
\(a=|AB|=\sqrt{(2+2)^2-(2+1)^2}=5\\
h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\
h=\frac{5\sqrt{3}}{2}\\)

\((x-1)^2-(-1)^2=4\\
x^2+2x+1-1-4=0\\
x^2+2x-4=0\\
\Delta =4-4\cdot (-4)>0\)
r-nie ma dwa rozwiązania, więc prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem

2
\(t=\frac{s}{V}\\
t_1=\frac{s}{5V}=\frac{1}{5}\frac{s}{V}=\frac{1}{5}t\)
czas byłyby 5 razy krótszy

3.
\(\frac{2}{x-2}-\frac{4}{x+1}=\frac{2(x+1)-4(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{2x+2-4x+8}{x^2-x-2}=\frac{10-2x}{-(2+x-x^2)}=\frac{2x-10}{2+x+x^2}\)

c)
\(f(x)=\frac{e^x}{x}\\
f'(x)=\frac{e^x \cdot x-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\\
f'(x)=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\\
f'(x)>0 \Leftrightarrow x>1\\
f'(x)<0 \Leftrightarrow x<1\\\)
f rośnie w przedziale \((1, \infty )\)
f maleje w przedziale\((-\infty, 1)-\{0\}\\\)
\(f_{min}=f(1)\)