Z misiowej półeczki, jak mówi nasz profesor
a) \(2^x+3^x+5^x=160\)
b) \((\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2})^x+\sqrt{2+\sqrt3}^x=2^x\)
równania wykładnicze
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 141
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 595 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: równania wykładnicze
a)
Lewa strona jest rosnąca więc jest tylko jedno rozwiązanie. Próba wstawienia x=3 je daje.
Gdyby rozwiązanie nie było liczbą całkowitą, to tylko numerycznie można znaleźć jego przybliżoną wartość.
b) \((\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2})^x+\sqrt{2+\sqrt3}^x=2^x \\
(2-\sqrt3)^{x/2}+(2+\sqrt3)^{x/2}=4^{x/2} \\
t=x/2 \\
(2-\sqrt3)^{t}+(2+\sqrt3)^{t}=4^{t}
\) Brak rozwiązań ujemnych bo
\((2-\sqrt3)^{t}+(2+\sqrt3)^{t} \ge 2 \sqrt{(2-\sqrt3)^{t}(2+\sqrt3)^{t}} =2\)
a dla ujemnych t zachodzi \(0<4^t<1\)
Dla dodatnich t:
Lewa strona równania rośnie wolniej od prawej więc jest tylko jedno rozwiązanie (t=1)
Lewa strona jest rosnąca więc jest tylko jedno rozwiązanie. Próba wstawienia x=3 je daje.
Gdyby rozwiązanie nie było liczbą całkowitą, to tylko numerycznie można znaleźć jego przybliżoną wartość.
b) \((\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2})^x+\sqrt{2+\sqrt3}^x=2^x \\
(2-\sqrt3)^{x/2}+(2+\sqrt3)^{x/2}=4^{x/2} \\
t=x/2 \\
(2-\sqrt3)^{t}+(2+\sqrt3)^{t}=4^{t}
\) Brak rozwiązań ujemnych bo
\((2-\sqrt3)^{t}+(2+\sqrt3)^{t} \ge 2 \sqrt{(2-\sqrt3)^{t}(2+\sqrt3)^{t}} =2\)
a dla ujemnych t zachodzi \(0<4^t<1\)
Dla dodatnich t:
Lewa strona równania rośnie wolniej od prawej więc jest tylko jedno rozwiązanie (t=1)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3546
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1950 razy
Re: równania wykładnicze
Po podzieleniu stronami przez \(2^x\) mamy, w dziedzinie rzeczywistej,
\((\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4})^x+(\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2})^x=1\)
Funkcja lewej strony jako suma funkcji malejących jest malejąca, czyli różnowartościowa. Wystarczy zauważyć, że \(x=2\) spełnia dane równanie
Pozdrawiam
PS. \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=\sin15^\circ,\ \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\cos15^\circ\)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 141
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 595 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: równania wykładnicze
Odważyłam się i zapytałam. Profesor się zdziwił, że słyszałam o tym panu i skomentował, że "to są zadania, które mi się podobają"
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: równania wykładnicze
Ach, to stąd te ''mi sie''.anilewe_MM pisze: ↑31 paź 2022, 10:39 Odważyłam się i zapytałam. Profesor się zdziwił, że słyszałam o tym panu i skomentował, że "to są zadania, które mi się podobają"
Nb, ta sytuacja potwierdza, że żarty matematyków często nie są zrozumiałe dla odbiorców.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3546
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1950 razy
Re: równania wykładnicze
-
- Expert
- Posty: 6272
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: równania wykładnicze
Ja go pamiętam jeszcze z programów w TV pt. "Aula" nadawanych w połowie lat '60. Potem były lektury WiŻ, Problemów, PC, a po latach odnalazłem go na racjonalista.pl i kanale YouTube. Bogdan Miś był ateistą więc..może po prostu, że pamięć o nim będzie w nas trwać.
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl