Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

[katie12]

Wyznacz wartości (o ile istnieją) funkcji f: największą (M) i najmniejszą (m) w podanym zbiorze:

\(f(x)=\frac{1-x^{2}}{x-3}, x \in <-5,3)\)

\(f(x)=\frac{10x}{x^{2}+1}, x \in (0,10)\)

Proszę o wyjaśnienie rozwiązania

[Galen]

\(f(x)= \frac{1-x^2}{x-3}\;\;\;\;\;f(-5)= \frac{1-25}{-5-3}=3\\ \Lim_{x\to 3^-} \frac{1-x^2}{x-3}= \frac{-8}{0^-}=+ \infty\)
Już widać,że nie ma wartości największej.
Oblicz pochodną i ekstrema,aby uzyskać wartość najmniejszą.
\(f'(x)= \frac{-2x(x-3)-1(1-x^2)}{(x-3)^2}= \frac{-x^2+6x-1}{(x-3)^2}\\f'=0\\-x^2+6x-1=0\\x_1=3+2 \sqrt{2} \notin <-5;3)\\x_2=3-2 \sqrt{2}\)
W tym punkcie pochodna zmienia znak z "-" na "+" więc funkcja f(x) osiąga minimum.
\(f_{min}=f(3-2 \sqrt{2})= \frac{1-(3-2 \sqrt{2})^2 }{3-2 \sqrt{2}-3 }=...=6-4 \sqrt{2}=m\)
Wartość najmniejsza to \(m=6-4 \sqrt{2}\) ,wartości największej funkcja nie osiąga.

[Galen]

\(f(x)= \frac{10x}{x^2+1}\\ \Lim_{x\to 0^+}f(x)= \frac{0}{1}=0\\ \Lim_{x\to 10^+}f(x)= \frac{100}{101} \approx 0,99\)
Wyznacz ekstrema,bo wartości na końcach przedziału nie należą do zbioru wartości.
\(f'(x)= \frac{10(x^2+1)-10x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}=...= \frac{-10x^2+10}{(x^2+1)^2}\)
\(f'(x)=0\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;-10x^2+10=0\\-x^2+1=0\\x^2=1\\x_1=-1 \notin (0;10)\\x_2=1\)
W punkcie x=1 pochodna zmienia znak z "+" na "-" więc funkcja osiąga maksimum.
\(f_{Max}=f(1)= \frac{10}{2}=5\)
\(M=5 \\m\;\;nie\;\;ma\)