Różniczka

[jmx22]

Polecenie : oblicz przybliżona wartość : \(\frac{ \sqrt[3]{26} }{3.03}\)
Ale nie chodzi mi o to żeby obliczac tylko czy ktos z Państwa mógłby mi powiedzieć czy dobrze to zapisałam w różniczce jako funkcje : \(\frac{ \sqrt[3]{x} }{y}\)

[eresh]

\(f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{x}}{y}=\frac{x^{\frac{1}{3}}}{y}\)
\((x_0,y_0)=(27,3)\\
\Delta x=-1\\
\Delta y=0,03\)
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{y}\\
\frac{\partial f}{\partial x}(27,3)=\frac{1}{81}\\
\frac{\partial f}{\partial y}=-x^{\frac{1}{3}}y^{-2}\\
\frac{\partial f}{\partial y}(27,3)=-\frac{1}{3}\\
f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y\\
\frac{\sqrt[3]{26}}{3,03}\approx 1+\frac{1}{81}\cdot (-1)-\frac{1}{3}\cdot 0,03=\frac{7919}{8100}\)

[Panko]

A jaki sensowny przyrost zaaplikujesz dla zmiennej \(x\) ?

Może tak ?

\(\frac{ \sqrt[3]{ 27-1} }{3.03}\)= \(\frac{ \sqrt[3]{ 3^3-1} }{3.03}\) = \(\frac{ \sqrt[3]{ 3^3( 1-\frac{1}{27})} }{3.03}\) =\(\frac{ 3 \cdot \sqrt[3]{ 1-\frac{1}{27}} }{3.03}\) =\(\frac{ \sqrt[3]{ 1-\frac{1}{27}} }{1.01}\)


wziąłbym funkcję jednej zmiennej \(x\) : \(f(x)= \frac{ \sqrt[3]{ x}}{1.01}\) i liczyłbym na przyroście \(dx=-\frac{1}{27}\) w \(x_0=1\)

\(f(1- \frac{1}{27}) \approx f(1)- f'(1) \cdot \frac{1}{27}\)