Twierdzenie sylowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Twierdzenie sylowa
Używając Twierdzenia Sylowa udowodnić, że grupa \(Z_{4} \times S_{3}\) ma podgrupę rzędu \(8\) i że żadna podgrupa rzędu \(8\) tej grupy nie jest normalna
-
sebnorth
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
rząd grupy \(Z_4×S_3\) wynosi \(4\cdot 3! = 24\).
\(2^3\) dzieli 24, \(2^4\) już nie, na mocy pierwszego tw. Sylowa istnieje 2-podgrupa Sylowa rzędu \(2^3\). Nazwijmy ją H.
Jeśli \(n_2\) to liczba 2-podgrup Sylowa to na mocy trzeciego tw. Sylowa \(n_2 ≡ 1 \pmod 2\).
Jeśli \(n_2 = 1\) to że \(xHx^{-1} = H\) dla wszystkich \(x \in Z_4×S_3\). To by też znaczyło że H jest normalna. W przeciwnym razie \(xHx^{-1}\) byłaby inną 2-podgrupą Sylowa.
Jeśli \(n_2 > 1\) to będzie koniec dowodu ponieważ:
na mocy trzeciego tw. Sylowa \([G:N(X)] = n_2\) dla dowolnej 2-podgrupy Sylowa X. A mamy: \(3 = [G:X] = [G:N(X)][ N(X) : X] = n_2 \cdot [ N(X) : X]\), czyli \(n_2 = 3, [ N(X) : X] = 1\). Indeks 1 normalizatora oznacza że X nie jest normalna.
\(n_2>1\) bo możemy wskazać trzy podgrupy rzędu 8. Jeśli g jest generatorem\(Z_4\) to podgrupy rzędu 8 to podgrupy generowane przez:
\(\{(g,(1,2)), (g^3, (1,2))\}, \{(g,(2,3)), (g^3, (2,3))\}, \{(g,(1,3)), (g^3, (1,3))\}\)
\(2^3\) dzieli 24, \(2^4\) już nie, na mocy pierwszego tw. Sylowa istnieje 2-podgrupa Sylowa rzędu \(2^3\). Nazwijmy ją H.
Jeśli \(n_2\) to liczba 2-podgrup Sylowa to na mocy trzeciego tw. Sylowa \(n_2 ≡ 1 \pmod 2\).
Jeśli \(n_2 = 1\) to że \(xHx^{-1} = H\) dla wszystkich \(x \in Z_4×S_3\). To by też znaczyło że H jest normalna. W przeciwnym razie \(xHx^{-1}\) byłaby inną 2-podgrupą Sylowa.
Jeśli \(n_2 > 1\) to będzie koniec dowodu ponieważ:
na mocy trzeciego tw. Sylowa \([G:N(X)] = n_2\) dla dowolnej 2-podgrupy Sylowa X. A mamy: \(3 = [G:X] = [G:N(X)][ N(X) : X] = n_2 \cdot [ N(X) : X]\), czyli \(n_2 = 3, [ N(X) : X] = 1\). Indeks 1 normalizatora oznacza że X nie jest normalna.
\(n_2>1\) bo możemy wskazać trzy podgrupy rzędu 8. Jeśli g jest generatorem\(Z_4\) to podgrupy rzędu 8 to podgrupy generowane przez:
\(\{(g,(1,2)), (g^3, (1,2))\}, \{(g,(2,3)), (g^3, (2,3))\}, \{(g,(1,3)), (g^3, (1,3))\}\)