Trochę zadanek z wielomianów

[cFFaniak]

Zad 1
Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań równania \(mx^6 -(m+1)x^4 +x^2= 0\) jest trzyelementowy?

Zad 2
Dla jakich wartości parametru a reszta z dzielenia wielomianu W(x)= \(x^5-x^4-5ax^3+5ax+6x-4\) przez dwumian x-a jest mniejsza od 2?

Zad 3
Wyznacz takie wartości a dla których równanie \(x^3-ax+2a-8=0\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Zad 4
Liczby -1 i -3 są pierwiastkami wielomianu \(P(x)=x^4+x^3-7x^2+ax+b.\) Rozwiąż nierówność \(P(x) \le 0\)

Zad 5
Wyznacz takie wartości parametrów m i n dla których przy dzieleniu wielomianu \(P(x)= mx^3 +x^2+(3m-n)x+10\) otrzymujemy wielomian Q(x)= \(x^3+x-6\) i resztę \(R(x)= 3x+4\)

Zad 6
Dla jakich wartości a i b wielomian \(P(x)= x^3-14x^2+ax+b\) ma trzy pierwiastki x1,x2,x3 takie że x2=2x1 x3=4x1? Znajdź te pierwiastki.

[radagast]

Zad 1
Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań równania \(mx^6 -(m+1)x^4 +x^2= 0\) jest trzyelementowy?

\(mx^6 -(m+1)x^4 +x^2= 0\)

podstawmy \(t=x^2\)
\(mt^3 -(m+1)t^2 +t= 0\)
\(t[mt^2 -(m+1)t +1]= 0\)
no to
\(w(t)=mt^2 -(m+1)t +1\) musi mieć dwa pierwiastki dodatnie
czyli
\(\begin{cases} m \neq 0\\ (m+1)^2-4m>0\\ \frac{1}{m}>0\\ \frac{m+1}{m}>0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} m \neq 0\\ (m-1)^2>0\\ m>0\\ m(m+1)>0 \end{cases}\)

\(m \in (0,1) \cup (1, \infty )\)

[josselyn]

Zad 4
Liczby -1 i -3 są pierwiastkami wielomianu \(P(x)=x^4+x^3-7x^2+ax+b.\) Rozwiąż nierówność \(P(x) \le 0\)

\(P(1)=0\\
1+1-7+a+b=0\\
1-1-7-a+b=0\\
-5+a+b=0\\
-7-a+b=0\\
+\\
------------\\
-12+2b=0\\
b=6\\
-5+a+b=0\\
-5+a+6=0\\
a=-1\\
P(-1)=0\\
(x-1)(x+1)(x^2+x-6)=(x-1)(x+1)(x-2)(x-3) \le 0\\
x \in <-3,-1> \cup <1,2>\)

[Panko]

3) Sposób pierwszy , bardzo ogólny, pozwala na radzenie sobie w trudnych przypadkach
\(f(x)=x^3-ax+2a-8\) , \(x \in R\)
Obliczmy funkcję pochodną \(f`(x)=3x^2-a\) , \(x \in R\)
\(f`(x)=0 \iff x^2=\frac{a}{3}\)
Jeżeli \(a>0 \So x= \sqrt{\frac{a}{3}} \vee x = -\sqrt{\frac{a}{3}}\)
Jeżeli \(a \le 0\) ,to \(\\) \(y=f(x)\) jest ściśle rosnąca czyli ma dokładnie jedno miejsce zerowe
Jeżeli \(a>0\) ,to y=f(x) ma dwa ekstrema lokalne dla \(x= \sqrt{\frac{a}{3}} \vee x = -\sqrt{\frac{a}{3}}\)
oraz dla \(x= \sqrt{\frac{a}{3}}\) jest to minimum lokalne

Jeżeli \(a>0\) i \(f( \sqrt{\frac{a}{3}}) <0 \wedge f( -\sqrt{\frac{a}{3}}) >0\) to y=f(x) ma trzy różne miejsca zerowe

Sposób drugi, gdy przykład ma w sobie duże uproszczenie
\(f(x)=(x-2)(x^2+2x+4)-a(x-2)=(x-2)(x^2+2x+4-a)\)
Liczba 2 jest zawsze pierwiastkiem.
\(\Delta =4-4(4-a)= 4a-12\)
Ma być :\(\Delta >0 \wedge 2^2+2*2+4-a \neq 0\)
Odp : \(a \in (3,12) \cup (12, \infty )\)

[Panko]

6) \(P(x)= (x-x_1)(x-2x_1)(x-4x_1)=x^3-7x_1x^2+14x_1^2x-8x_1^3\)
\(P(x)=x^3-14x^2+ax+b\)
\(-14=-7x_1 \wedge a=14x_1^2 \wedge b=-8x_1^3\)
\(x_1=2 \wedge a=56 \wedge b=-64\)

Faktycznie \(P(x)=x^3-14x^2+56x-64=(x-2)(x-4)(x-8)\)
\(Odp: x_1=2 , x_2=4, x_3=8\)

[cFFaniak]

Zmierzycie się jeszcze z 2 i 5 zadaniem?

[suseu]

W drugim chyba masz błąd, bo wychodzą kosmiczne liczby i w ogóle jakieś pierwiastki w pierwiastkach pozdrawiam

[Galen]

Zadanie 5 też nie jest poprawnie zapisane.