Czy ciąg jest artytmetyczny czy geometryczny?

[kalo89]

Czy ciąg \(a_n= \frac{5}{3^{2n-1}}\) jest artytmetyczny czy geometryczny? Odpowiedź uzasadnij.

[janusz55]

Jest to ciąg geometryczny, bo iloraz tego ciągu jest liczbą \( q \)

\( q = \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \ \ ... \)

Odpowiedź: \( q = 3^{-2} = \frac{1}{9}.\)

[radagast]

Policz :
a) różnicę miedzy dwoma sąsiednimi wyrazami
b) iloraz dwóch sąsiednich wyrazów
wyciągnij wniosek

[kalo89]

Iloraz wyszedł 1/9 i po podstawieniu do wzoru ciągu odpowiednio n=1 i n=2 no i po podzieleniu wyszło że jest geometryczny. A arytmetyczny nie jest bo różnica jest uzależniona od n. Dobrze?

[janusz55]

Wniosek jest poprawny.
Jeśli badamy czy dany ciąg \( (a_{n}) \) jest geometryczny, to uwzględniamy iloraz \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}}. \)
Chyba, że z treści zadania wynika, że mamy dane dwa kolejne wyrazy.

[kalo89]

A jak obliczyć różnicę miedzy dwoma sąsiednimi wyrazami?

[janusz55]

\( a_{n+1} - a_{n} = \frac{5}{3^{2(n+1)-1}} - \frac{5}{3^{2n-1}} = \ \ ...\)

[kalo89]

Co wyjdzie?

[janusz55]

Sprowadź do wspólnego mianownika i odejmij te dwa ułamki!

[kalo89]

Możesz pokazać wynik. Mi nie wychodzi

[Jerry]

\[ a_{n+1} - a_{n} = \frac{5}{3^{2(n+1)-1}} - \frac{5}{3^{2n-1}} = \frac{5}{3^{2n+1}} - \frac{5\cdot9}{3^{2n-1}\cdot9} = \frac{-40}{3^{2n+1}}\]
Pozdrawiam

[kalo89]

A skąd ta 9?
[Edit]
Wiem

[janusz55]

\( a_{n+1} - a_{n} = \frac{5}{3^{2(n+1)-1}} - \frac{5}{3^{2n-1}} = \frac{5}{3^{2n+1}} - \frac{5}{3^{2n-1}} = \frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{5}{3^{-1}\cdot 3^{2n}} = \frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{5}{\frac{1}{9}\cdot 3^{2n}} =\frac{5}{3\cdot 3^{n}} - \frac{45}{3^{2n}} = \frac{5 - 3\cdot 45}{3\cdot 3^{2n}} = \frac{-130}{3\cdot 3^{2n}} = \frac{-43\frac{1}{3}}{3^{2n}}.\)

Jak widzimy różnica zależy od \( n \) - nie jest stałą. Badany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

[Tulio]

\(... = \frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{5}{3^{-1}\cdot 3^{2n}} = \frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{5}{\frac{1}{9}\cdot 3^{2n}} =...\)

\(\frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{5}{3^{-1}\cdot 3^{2n}} \neq \frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{5}{\frac{1}{9}\cdot 3^{2n}}\)

[janusz55]

\( \frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{5}{3^{-1}\cdot 3^{2n}} = \frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{5}{\frac{1}{3}\cdot 3^{2n}}=\frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{5}{\frac{1}{3}\cdot 3^{2n}} = \frac{5}{3\cdot 3^{2n}} - \frac{15}{3^{2n}} = \frac{5 -45}{3\cdot 3^{2n}} = \frac{-40}{3\cdot 3^{2n}} = \frac{-13\frac{1}{3}}{ 3^{2n}}.\)

Pomroczność jasna.