\(f(x)=\begin{cases}m \frac{4-x^2}{ \sqrt{x+6}-2 }+ \frac{ \pi }{4}, &-6<x<-2 \\ \frac{x(x+1)}{2}+ \arcctg k, & -2 \le x \le 0 \\ \frac{1}{4} \arctg( \pi + \ln x), & x>0\end{cases}
\\ g(x)=\begin{cases}\arcctg \frac{-x}{3-x}, & x<3 \\ 2k^2-3k+ \pi ,& x=3 \\ \pi +2e^{- \frac{1}{(x-3)^2}} ,& x>3\end{cases}\)
wyznacz wartości parametrów, aby funkcje były ciągłe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3546
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1949 razy
Re: wyznacz wartości parametrów, aby funkcje były ciągłe
Ponieważ:
- \(\Lim_{x\to3^-}g(x)=[\arcctg(-\infty)]=\pi\)
- \(g(3)=2k^2-3k+ \pi\)
- \(\Lim_{x\to3^+}g(x)=\left[\pi+2e^{-\infty}\right]=\pi\)
\[\pi=2k^2-3k=\pi\\
k=0\vee k={3\over2}\]
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3546
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1949 razy
Re: wyznacz wartości parametrów, aby funkcje były ciągłe
Pomocniczo: \(\Lim_{x\to-2^-}\frac{4-x^2}{ \sqrt{x+6}-2 }=\Lim_{x\to-2^-}\frac{(2-x)(2+x)( \sqrt{x+6}+2) }{x+6-4}=16\)
Jak poprzednio:
- \(\Lim_{x\to-2^-}f(x)=16m+{\pi\over4}\)
- \(f(-2)=\Lim_{x\to-2^+}f(x)=1+\arcctg k\)
\[16m+{\pi\over4}=1+\arcctg k\]
Analogicznie:
- \(\Lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\arcctg k\)
- \(\Lim_{x\to0^-}f(x)=\left[{1\over4}\cdot\arctg(\pi-\infty)\right]={1\over4}\cdot\left(-{\pi\over2}\right)=-{\pi\over8}\)
\[\arcctg k=-{\pi\over8}\]
Aby funkcja była ciągła w \((-6;+\infty)\) musi zajść układ:
\[\begin{cases}16m+{\pi\over4}=1+\arcctg k\\\arcctg k=-{\pi\over8}\end{cases}\]
który zostawię Ci do samodzielnego rozwiązani
Pozdrawiam
PS. Wzór przepisałaś kompletny? Wygląda jakby brakowało jednego przedziału określoności...
- Jerry
- Expert
- Posty: 3546
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1949 razy
Re: wyznacz wartości parametrów, aby funkcje były ciągłe
OK...
Pomocniczo:
Ad.1) \(\Lim_{x\to3^-}\frac{-x}{3-x}=\left[\frac{-3}{0^+}\right]=-\infty\)
Ad.3) \(\Lim_{x\to3^+}\frac{-1}{(x-3)^2}=\left[\frac{-1}{0^+}\right]=-\infty\)
Pozdrawiam
PS. Dla wyobraźni kilka wykresów
Re: wyznacz wartości parametrów, aby funkcje były ciągłe
powinno być arctg k zamiast cotanges przepraszam za błąd