yelan pisze: ↑29 lis 2023, 21:01
\(f(x)=\begin{cases}m \frac{4-x^2}{ \sqrt{x+6}-2 }+ \frac{ \pi }{4}, &-6<x<-2 \\ \frac{x(x+1)}{2}+ \arcctg k, & -2 \le x \le 0 \\ \frac{1}{4} \arctg( \pi + \ln x), & x>0\end{cases}\)
Pomocniczo: \(\Lim_{x\to-2^-}\frac{4-x^2}{ \sqrt{x+6}-2 }=\Lim_{x\to-2^-}\frac{(2-x)(2+x)( \sqrt{x+6}+2) }{x+6-4}=16\)
Jak poprzednio:
- \(\Lim_{x\to-2^-}f(x)=16m+{\pi\over4}\)
-
\(f(-2)=\Lim_{x\to-2^+}f(x)=1+\arcctg k\)
Aby funkcja była ciągła w \(x=-2\) musi
\[16m+{\pi\over4}=1+\arcctg k\]
Analogicznie:
- \(\Lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\arcctg k\)
-
\(\Lim_{x\to0^-}f(x)=\left[{1\over4}\cdot\arctg(\pi-\infty)\right]={1\over4}\cdot\left(-{\pi\over2}\right)=-{\pi\over8}\)
Aby funkcja była ciągła w \(x=0\) musi
\[\arcctg k=-{\pi\over8}\]
Aby funkcja była ciągła w \((-6;+\infty)\) musi zajść układ:
\[\begin{cases}16m+{\pi\over4}=1+\arcctg k\\\arcctg k=-{\pi\over8}\end{cases}\]
który zostawię Ci do samodzielnego rozwiązani
Pozdrawiam
PS. Wzór przepisałaś kompletny? Wygląda jakby brakowało jednego przedziału określoności...