Trójkat prostokątny

[Certina]

Witam.
Mam problem z obliczeniem trójkąta prostokątnego.
Kąt ostrokątny w trójkącie prostokątnym wynosi \(22,5^\circ\), a dłuższy bok przyprostokątnym ma długość \(10\). Obliczyć krótszy bok przyprostokątnym.
Bez posługiwania się trygonometrią.
Dziękuję - Certina

[eresh]

Witam.
Mam problem z obliczeniem trójkata prostokątnego.
Kąt ostrokątny w trójkącie prostokątnym wynosi 22.5, a dłuższy bok przyprostokątny ma długość 10. Obliczyć krótszy bok przyprostokątny.
Bez posługiwania się trygonometrią.
Dziękuję - Certina

\(|\angle BCA|=22,5^{\circ}\\
|\angle ABC|=90^{\circ}\\
|\angle |BAC|=67,5^{\circ}\)
\(BC\) - dwusieczna kąta \(ABC\)
\(DE\) - odcinek prostopadły do boku \(BC\)
\(|\angle BAD|=|\angle BDA|=67,5^{\circ}\So |AB|=|BD|=x\)
trójkąt BED jest równoramienny i prostokątny, więc \(|BE|=|DE|=y\)
\(|BD|=y\sqrt{2}\;\;\So y=\frac{x}{\sqrt{2}}\)
trójkąty \(ABC\) i \(DEC\) są podobne, więc:
\(\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|DE|}{|EC|}\\
\frac{x}{10}=\frac{y}{10-y}\\
x(10-\frac{x}{\sqrt{2}})=10\cdot\frac{x}{\sqrt{2}}\\
10x-\frac{x^2}{\sqrt{2}}=\frac{10x}{\sqrt{2}}\\
10x\sqrt{2}-x^2-10x=0\\
x(10\sqrt{2}-x-10)=0\\
x=10\sqrt{2}-10


\)

[Certina]

Bardzo dziękuję za rozwiązanie zadania.
Pozdrawiam - Certina