Trapez równoramienny opisany na okręgu

[dwukropek]

Na okręgu o promieniu 4 opisano trapez równoramienny. Punkt styczności dzieli ramię trapezu w stosunku 1 : 2. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.

[Galen]

Oznacz dolną podstawę jako 4x,górną 2x,ramiona jako 3x (licząc od krótszej podstawy to odcinki
ramion x i 2x na jakie dzieli ramię punkt styczności).
h = 8
Dolną podstawę (dłuższą) nazywam AB,ramiona BC i AD,krótszą podstawę CD.
Wysokość z wierzchołka D tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych x i 8,przeciwprostokątnej
3x. tw.Pitagorasa: 8^2 +x^2 =(3x)^2 =========== > x= 2*pierw.2
To już masz boki : |AB| = 8 pierw.2
|DC|=4 pierw.2
|AD| = |BC| = 6 pierw.2
sinA = h/AD = 8/(6 pierw.2) =(2 pierw.2)/3 Z jedynki trygonometrycznej oblicz cosA
cosA =1/3
Z tw cosinusów oblicz przekątną BD
|BD|^2 = AB^2 + AD^2 - 2 |AB|*|AD|*cosA
\(|BD| = 2 \sqrt{34}\)
Okrąg opisany na trapezie jest opisany na trójkącie ABD.
Tw.sinusów:
|BD|/sinA = 2R
\(2R= \frac{2 \sqrt{34} }{ \frac{2 \sqrt{2} }{3} }= \frac{2 \sqrt{34} \cdot 3 }{2 \sqrt{2} }=3 \cdot \sqrt{17}\)

\(R= \frac{3}{2} \sqrt{17}\)
Promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym.

[Aqois]

a skąd wiesz ze podstawy nei mają innych długości tylko 4x i 2x ?

[djlinux]

Moim zdaniem jest źle wyliczony odcinek BD, z moich obliczeń wynika, że
\(|BD|= 4 \sqrt{7}\)
W związku z tym owy promień opisany wynosi \(\frac {3 \sqrt{17} }{2}\)
Proszę jednakże o potwierdzenie.

[irena]

A ja obliczyłam, że
\(|BD|^2=136\\|BD|=2\sqrt{34}\)

I stąd:
\(2R=\frac{2\sqrt{34}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\2R=3\sqrt{17}\\R=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

[djlinux]

Bardzo dziękuje za potwierdzenie. Mam nadzieję, że komuś kto nie posiada odpowiedzi do tego zadania to się przyda

[biola93]

ponawiam pytanie Aquois.

[irena]

Narysuj trapez równoramienny ABCD, gdzie AB to dłuższa podstawa.
Trapez jest opisany na okręgu. Oznacz K, L, M, N - punkty styczności z bokami: AB, BC, CD, DA.

Z równości odcinków stycznych masz:
\(|AB|=4x\\|AK|=\frac{1}{2}|AB|=2x\\|AK|=|AN|=2x=|BK|=|BL|.

Z treści zadania:
\(|LC|\ :\ |BL|=1:2\)

Stąd:
\(|CL|=|CM|=x=|MD|=|ND|\\|CD|=2x\\|BC|=|AD|=3x\)

Czyli- dłuższa podstawa ma długość 4x, krótsza 2x, ramiona po 3x.

O to Ci chodziło?\)

[Galen]

Biola,narysuj ten trapez i okrąg wpisany.
Punkty styczności dzielą ramiona trapezu w stosunku 1:2.To oznacza,że w jednej części ramienia jest odcinek
mniejszy oznaczam go x,a druga część ramienia trapezu jest dwa razy dłuższa ,to jej długość oznaczam 2x.
Suma długości dwóch ramion trapezu =suma długości podstaw .(tw. o czworokątach w które można wpisać okrąg)
Odległość od wierzchołka do punktu styczności jest na obu ramionach kąta taka sama.
Jeśli trapez ma wierzchołki ABCD i punkty styczności K na AD,L na AB, M na BC i N na DC,to masz
równości:
\(|KD|=|DN|=x\\
|NC|=|CM|=x\\
|KA|=|AL|=2x\\
|LB|=|BK|=2x\)
Już jasne ?