Znajdź granice ciągów zadanych rekurencyjnie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Znajdź granice ciągów zadanych rekurencyjnie
Oczywiście,. Założyliśmy, że istnieje.
Należałoby dla pełności rozwiązania sprawdzić monotoniczność i ograniczoność tego ciągu.
Należałoby dla pełności rozwiązania sprawdzić monotoniczność i ograniczoność tego ciągu.
Re: Znajdź granice ciągów zadanych rekurencyjnie
A w jaki sposób, wydaje mi się, że monotoniczność umiałbym sprawdzić, a przynajmniej wiem czego to dotyczy, natomiast z ograniczonością albo się nie spotkałem, ale nie wiem, że to jest to.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3548
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1952 razy
Re: Znajdź granice ciągów zadanych rekurencyjnie
Z monotonicznością jest problem - wg mnie dany ciąg nie jest monotoniczny (sprawdziłem po początkowych wyrazach). Podciąg wyrazów o numerach nieparzystych jest rosnący, podciąg wyrazów o indeksach parzystych - malejący...
Ograniczoność (globalnie): postawmy hipotezę \(0\le a_n\le{1\over2}\) dla każdego \(n\in\zz_+\).
\(1^\circ\quad\ a_1=0,\ a_2={1\over2}\) spełniają hipotetyczny porządek,
\(2^\circ\quad\) Załóżmy, że dla pewnego \(k\ge2\) zachodzi \(0\le a_k\le{1\over2}\). Wynika z tego, że
\[0\ge- a_k\ge-{1\over2}\\1\ge1- a_k\ge{1\over2}\\{1\over2}\ge {1-a_k\over2}\ge{1\over4}\\
{1\over2}\ge a_{k+1}\ge{1\over4}\ge0\]
Zatem, z zasady indukcji matematycznej zupełnej, hipotetyczny porządek jest prawdziwy dla wszystkich \(n\in\zz_+\) i ciąg \((a_n)\) jest ograniczony!
Pełnym, wg mnie, rozstrzygnięciem problemu, jest wykazanie:
PS. Do wskazania rekurencji ciągów \(b,\ c\) przyda się:
\(a_{n+2}=\dfrac{1-a_{n+1}}{2}=\dfrac{1-\frac{1-a_{n}}{2}}{2}=\ldots\)
Ograniczoność (globalnie): postawmy hipotezę \(0\le a_n\le{1\over2}\) dla każdego \(n\in\zz_+\).
\(1^\circ\quad\ a_1=0,\ a_2={1\over2}\) spełniają hipotetyczny porządek,
\(2^\circ\quad\) Załóżmy, że dla pewnego \(k\ge2\) zachodzi \(0\le a_k\le{1\over2}\). Wynika z tego, że
\[0\ge- a_k\ge-{1\over2}\\1\ge1- a_k\ge{1\over2}\\{1\over2}\ge {1-a_k\over2}\ge{1\over4}\\
{1\over2}\ge a_{k+1}\ge{1\over4}\ge0\]
Zatem, z zasady indukcji matematycznej zupełnej, hipotetyczny porządek jest prawdziwy dla wszystkich \(n\in\zz_+\) i ciąg \((a_n)\) jest ograniczony!
Pełnym, wg mnie, rozstrzygnięciem problemu, jest wykazanie:
- rośnięcia ciągu \(b_n=a_{2n-1}\) i jego ograniczenie przez \({1\over3}\)
- malenia ciągu \(c_n=a_{2n}\) i jego ograniczenie przez \({1\over3}\)
- zacytowanie postu janusz55 z 15:03
PS. Do wskazania rekurencji ciągów \(b,\ c\) przyda się:
\(a_{n+2}=\dfrac{1-a_{n+1}}{2}=\dfrac{1-\frac{1-a_{n}}{2}}{2}=\ldots\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Znajdź granice ciągów zadanych rekurencyjnie
\( a_{n+1} = \frac{ 1- a_{n}}{2}, \ \ a_{1} = 0.\)
Obliczając kolejne wartości wyrazów ciągu na przykład w programie OCTAVE:
Otrzymujemy ciąg przyblżeń dolnych i ciąg przybliżeń górnych granicy ciągu \( 0,3333...= 0,(3) = \frac{1}{3}.\)
Obliczając kolejne wartości wyrazów ciągu na przykład w programie OCTAVE:
Kod: Zaznacz cały
>> 3/ans = 0.3750
>> 5/16
ans = 0.3125
>> 11/32
ans = 0.3438
>> 21/64
ans = 0.3281
>> long format
>> format long
>> 5/16
ans = 0.312500000000000
>> 11/32
ans = 0.343750000000000
>> 21/64
ans = 0.328125000000000
>> 43/128
ans = 0.335937500000000
>> 85/256
ans = 0.332031250000000
>> 171/512
ans = 0.333984375000000
>> 341/1024
ans = 0.333007812500000
>> 683/2028
ans = 0.336785009861933
>> 683/2048
ans = 0.333496093750000
>> 1365/4096
ans = 0.333251953125000
>> 2761/8192
ans = 0.337036132812500
>> 2731/8192
ans = 0.333374023437500