Okrąg opisany na trójkącie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 03 kwie 2023, 19:49
Okrąg opisany na trójkącie
rozwazmy trojkaty rownoramienne w ktorych opisano okrag o promieniu 6 wyznacz dlugosc bokow tego trojkata ktory ma najwieksze pole oblicz to pole zapisz obliczenia, Rozważ dwa przypadki.
Bardzo prosze o pomoc
Bardzo prosze o pomoc
-
- Guru
- Posty: 17554
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Re: Okrąg opisany na trójkącie
wskazówka:
uzależnij pole trójkąta od kata przy wierzchołku i wykorzystaj twierdzenie sinusów.
(wychodzi \( \alpha = \frac{ \pi }{3} \))
Zachodzę w głowę o jakie dwa przypadki chodzi autorowi zadania ... nie wiem.
uzależnij pole trójkąta od kata przy wierzchołku i wykorzystaj twierdzenie sinusów.
(wychodzi \( \alpha = \frac{ \pi }{3} \))
Zachodzę w głowę o jakie dwa przypadki chodzi autorowi zadania ... nie wiem.
-
- Guru
- Posty: 17554
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Re: Okrąg opisany na trójkącie
\( \frac{a}{\sin ( \frac{\pi- \alpha }{2}) }=2R =12\)
\(\sin (\frac{\pi- \alpha }{2})=\sin ( \frac{\pi}{2} - \frac{ \alpha }{2} )=\cos \frac{ \alpha }{2} \)
czyli
\( \frac{a}{\cos \frac{ \alpha }{2} }=12\)
zatem
\(a=12\cos \frac{ \alpha }{2} \)
\(P(a, \alpha )= \frac{1}{2}a^2 \sin \alpha \)
\(P( \alpha )= \frac{144}{2}\cos^2 \frac{ \alpha }{2} \sin \alpha =72\cos^2 \frac{ \alpha }{2} \sin \alpha \), przy czym \( \alpha \in (0,\pi)\)
\(P'( \alpha )=72 [ 2\cos \frac{ \alpha }{2} \cdot (-\sin \frac{ \alpha }{2} ) \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin \alpha +\cos^2 \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \alpha] =0 \iff \\
\cos \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \alpha-\sin \frac{ \alpha }{2} \cdot \sin \alpha =0 \iff \\
\cos(\frac{ \alpha }{2} + \alpha )=0 \iff \\
\frac{3}{2} \alpha = \frac{ \pi }{2} \iff \\
\alpha = \frac{\pi}{3} \)
z twierdzenia sinusów :\(\sin (\frac{\pi- \alpha }{2})=\sin ( \frac{\pi}{2} - \frac{ \alpha }{2} )=\cos \frac{ \alpha }{2} \)
czyli
\( \frac{a}{\cos \frac{ \alpha }{2} }=12\)
zatem
\(a=12\cos \frac{ \alpha }{2} \)
\(P(a, \alpha )= \frac{1}{2}a^2 \sin \alpha \)
\(P( \alpha )= \frac{144}{2}\cos^2 \frac{ \alpha }{2} \sin \alpha =72\cos^2 \frac{ \alpha }{2} \sin \alpha \), przy czym \( \alpha \in (0,\pi)\)
\(P'( \alpha )=72 [ 2\cos \frac{ \alpha }{2} \cdot (-\sin \frac{ \alpha }{2} ) \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin \alpha +\cos^2 \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \alpha] =0 \iff \\
\cos \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \alpha-\sin \frac{ \alpha }{2} \cdot \sin \alpha =0 \iff \\
\cos(\frac{ \alpha }{2} + \alpha )=0 \iff \\
\frac{3}{2} \alpha = \frac{ \pi }{2} \iff \\
\alpha = \frac{\pi}{3} \)
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 03 kwie 2023, 19:49
Re: Okrąg opisany na trójkącie
Trojkat może być równoramienny ostrokątny lub rozwartokątny dlatego dwa przypadki
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 03 kwie 2023, 19:49
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: Okrąg opisany na trójkącie
To proszę:Jakośtak_21 pisze: ↑14 kwie 2023, 08:12 Trojkat może być równoramienny ostrokątny lub rozwartokątny dlatego dwa przypadki
- Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku
- Zauważmy, że trójkąty \(ABC,\ A_1B_1C\) mają jednakową podstawę - większe pole ma zatem trójkąt ostrokątny, bo ma dłuższą wysokość
- \(|SM|=\sqrt{36-x^2}\So |MC|=6+\sqrt{36-x^2}\)
- Funkcja pola optymalizowanego trójkąta ma postać \(y=f(x)={1\over2}\cdot2x\cdot(6+\sqrt{36-x^2})=6x+\sqrt{36x^2-x^4}\wedge D=(0;6)\)
Pozdrawiam
PS. Rozwiązanie radagast jest wg mnie przyjaźniejsze (co prawda ja zacząłbym od \(\alpha\) kąta przypodstawnego, tworząc funkcję pola: \(f(\alpha)=144\sin^3\alpha\cos\alpha\wedge D=(0;{\alpha\over2})\), ale to już niuans)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: Okrąg opisany na trójkącie
Przykro mi, nie rozumiem pytania
Pozdrawiam
PS. radagast jest kobietą!
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 03 kwie 2023, 19:49
-
- Guru
- Posty: 17554
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Re: Okrąg opisany na trójkącie
bo suma kątów w trójkącie to \(\pi\) oraz kąty przy podstawie są równe.