Prawdopodobieństwo Rozkład Bernoulliego Trudne

[korepetycje112]

Rzucamy 20-krotnie symetryczna moneta. Niech Z bedzie laczna liczba wyrzuconych orlow.
a) Jakie jest prawdopodobienstwo, ze wyrzucimy dokladnie 6 orlow.
b) Jakie jest prawdopodobienstwo, ze wyrzucimy co najmniej 2 orly.
c) Jakie jest prawdopodobienstwo, ze wyrzucimy parzysta liczbe orlow.
d) Wyznaczyc wartosc oczekiwana EZ.
e) Wyznaczyc odchylenie standardowe zmiennej losowej Z.

Czy zadanie powinno być policzone przy wykorzystaniu rozkładu Bernoulliego? Czy mogę liczyć na pomoc i rozwiązanie?

[korepetycje112]

Próba rozwiązania
a)\(38760*(1/2)^6 *(1/2)^(14) =0,0369\)
b)\(1-(1/2)^(20)-20*(1/2)^(20)=0,99998\)
c) p0+p2+p3+p4+p6+p8+p10+p12+p14+p16+p18+p20=0,49999

[janusz55]

\( Z \sim \mathcal{B}\left (20, \frac{1}{2} \right).\)

(a)
\( P(\{Z=6\}) = {20\choose 6}\left(\frac{1}{2}\right)^6 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^14 = {20\choose 6}\left(\frac{1}{2}\right)^{20} \approx 0,037.\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> PZ6 = choose(20,6)*(1/2)^20
> PZ6
[1] 0.03696442

(b)
\( P(\{Z\geq 2\}) = 1 -[ P(\{Z=0\}) + P(\{Z=1\})] \)

\( P(\{Z\geq 2\}) = 1 - {20\choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{20} + {20\choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{19} = 1- \left[{20\choose 0}+ {20\choose 1}\right]\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{20} \approx 1,000\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> PZ2 = 1-(choose(20,0)+choose(20,1))*(1/2)^20
> PZ2
[1] 0.99998

(c)
\( P(\{Z = 2k\}) = \sum_{k=0}^{20} {20\choose 2k}\left(\frac{1}{2}\right)^{20} = \left[ {20\choose 0}+{20\choose 2}+{20\choose 4}+{20\choose 6}+{20\choose 8} +{20\choose 10 }+ {20\choose 12} + {20\choose 14}+{20\choose 16}+{20\choose 18}+{20\choose 20} \right]\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{20} = 0,500\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

 PZ2k = (choose(20,0)+choose(20,2)+choose(20,4)+choose(20,6)+choose(20,8)+choose(20,10)+choose(20,12)+choose(20,14)+choose(20,16)+choose(20,18)+choose(20,20))*(1/2)^(20) 
> PZ2k
[1] 0.5

Tego wyniku można było się spodziewać bez obliczeń, bo prawdopodobieństwo wypadnięcia sumy parzystej i nieparzystej liczby orłów jest równe \(1.\)

(d)

\( E(Z) = n\cdot p.\)

\( E(Z) = 20\cdot \frac{1}{2}= 10.\)

(e)

\( \sigma(Z) = \sqrt{Var(Z)} = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}.\)

\( \sigma(Z) = \sqrt{20\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}.\)